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Le paradoxe de Richard

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Nombres

Physique

Nous quittons le (vaste) domaine des probabilités et des statistiques, pour aborder à partir de cette semaine des questions relatives aux nombres, et en particulier à leur (bonne) définition.

En 1905 Jules Richard a l'idée de considérer un certain ensemble E. Il forme tous les arrangements de lettres 2 à 2, puis 3 à 3, 4 à 4... (ils ne forment pas tous des mots). Il supprime de cette liste tout ce qui ne représente pas un nombre. Il note u1 le premier nombre restant, u2 le deuxième et ainsi de suite. Il a obtenu de la sorte une énumération de l'ensemble (dénombrable) des nombres qui peuvent se définir avec une quantité finie de mots.

Citons maintenant J. Richard :

"Voici où est la contradiction. On peut nommer un nombre n'appartenant pas à cet ensemble.

Soit p, la nième décimale du nième nombre. de l'ensemble E ; formons un nombre ayant zéro pour partie entière, et pour nième décimale p+1 si p n'est égal ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le cas contraire.

Ce nombre N n'appartient pas à l'ensemble E. S'il était le nième nombre de l'ensemble E, son nième chiffre serait le nième chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas le cas.

Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets.

Le nombre N est défini par les mots du groupe G, c'est à dire par un nombre fini de mots ; il devrait appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas. Telle est la contradiction."
À peine posé, J. Richard réfute lui-même son paradoxe :
"Montrons que cette contradiction n'est qu'apparente. Revenons à nos arrangements. Le groupe de lettres G est un de ces arrangements ; il existera donc dans mon tableau. Mais, à la place qu'il occupe, il n'a pas de sens. Il y est question de l'ensemble E, et celui-ci n'est pas encore défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n'a de sens que si l'ensemble E est totalement défini, et celui-ci ne l'est que par un nombre infini de mots. Il n'y a donc pas de contradiction."
Le processus qui est au centre de ce paradoxe, celui de la construction du nombre N, s'appelle procédé diagonal de Cantor. C'est en effet ce dernier qui l'a utilisé pour montrer que l'ensemble des réels de ]0,1[ (et a fortiori tout entier) n'est pas dénombrable.

Il a été repris ensuite par des logiciens, dont Gödel et Turing, pour prouver l'impossibilité de l'un des problèmes de Hilbert (obtention mécanique de tous les théorèmes possibles dans une théorie donnée, cf. les indécidables et le problème de l'arrêt).