C'est presque π...

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Ce qui suit ne constitue pas vraiment un paradoxe. C'est plutôt un avant-goût des problèmes posés par la définition des nombres réels, qui est source de situations authentiquement paradoxales.

Jusqu'où faut-il calculer les décimales de deux nombres pour prouver qu'ils sont égaux ? Quelques centaines, quelques milliers suffisent en général à nous convaincre de leur identité. C'est d'ailleurs un moyen utilisé en mathématiques expérimentales pour découvrir de nouvelles formules qui sont ensuite (très souvent) vérifiées rigoureusement. C'est également le principe de l'inverseur de Simon Plouffe qui est un programme et une base de données capables, le plus souvent, de retrouver un nombre (p. ex., 2+ln (2) ) à partir des premières décimales que vous lui fournissez.

Essayez, c'est étonnant. Vous trouverez l'inverseur de S. Plouffe ici.

Mais l'exemple suivant vient nous rappeler que jamais un nombre fini de chiffres ne renfermera toute l'information sur un nombre (autre que décimal). Les frères Jonathan et Peter Borwein sont de grands spécialistes du calcul de π. Ils ont mis au point des formules particulièrement efficaces pour son approximation. En 1992, ils ont découvert le nombre suivant :

42 milliards de décimales

N'espérez pas tester cela avec votre calculatrice, ni même avec Maple, même sur une machine puissante. La convergence de la suite (π'_N) est désespérément lente, et l'on ne voit guère à l'œil nu se dessiner la ressemblance avec π. (Voir aussi sur le même thème le problème de la calculabilité -- cf. les fonctions non calculables.)

Cette page est tirée de l'ouvrage de J.-P. Delahaye, Le fascinant nombre π, Belin, 1997, p. 44-45. Ce livre est une mine d'informations historiques, mathématiques et d'anecdotes autour du mystérieux nombre.