Accueilretour

Le paradoxe de Penney

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Le paradoxe de Penney a été formulé en 1969 par Walter H. Penney (1953-2002).

Il survient dans une succession de tirages à pile ou face (expériences de Bernoulli) avec une pièce équilibrée :

        P(pile) = P(face) = 1/2

Un jeu inéquitable...

Dans le "jeu de Penney", deux joueurs J et J' s'affrontent en surveillant l'apparition des séquences (pile, pile, face) et (face, pile, pile) parmi la succession des tirages :

  • J est gagnant si (pile, pile, face) survient avant (face, pile, pile) ;
  • J' est gagnant si (face, pile, pile) survient avant (face, pile, pile).

À première vue, le jeu peut sembler équitable : dans toute séquence de trois tirages consécutifs, (pile, pile, face) et  (face, pile, pile) ont la même probabilité de survenir (1/8).

Cependant, un peu d'attention montre que J' possède en fait un net avantage. Pour s'en convaincre, distinguons selon le résultat du premier tirage :

  • Si c'est face, J est mal parti ! Pour qu'il gagne, deux pile consécutifs devraient survenir. Mais cela aurait fait gagner J' auparavant. J peut tout au plus reculer l'échéance en obtenant sans cesse des face successifs... On ne peut donc pas dire que J' est sûr de gagner, mais seulement quasi-sûr : il gagne avec une probabilité 1.
  • Si c'est pile, regardons le deuxième tirage :
    • si c'est face, alors comme précédemment, J ne peut plus gagner. J' l'emporte quasi-sûrement.
    • si c'est pile, alors J est content car c'est à son tour d'être quasi-sûr de gagner.

Le résultat de ces considérations est confirmé par un calcul complet : J n'a bel et bien qu'une chance sur 4 de gagner (correspondant à (pile, pile) initial). Trois fois moins que J' !

Ce résultat est étonnant, mais là ne réside pas le paradoxe de Penney [1].

... et pourtant !

Une autre façon d'envisager le paradoxe consiste à mesurer le temps moyen d'attente de la configuration (pile, pile, face) et de la configuration (face, pile, pile).

En termes rigoureux, on recherche l'espérance de la variable aléatoire X égale au rang d'apparition du premier (pile, pile, face), et celle de X', rang du premier (face, pile, pile).

Pour calculer ces espérances, il faut connaître les lois de X et de X', càd, les probabilités qu'elles prennent une valeur n donnée. Ces lois n'ont pas d'expressions sympathiques, mais par contre on constate assez facilement que ce sont les mêmes !

Ainsi,

        en moyenne, on attend (pile, pile, face) aussi longtemps que (face, pile, pile).


Il est possible (mais non trivial) de calculer cette espérance (temps moyen d'attente) : elle vaut 8, pour X comme pour X'.

C'est là le paradoxe : le premier de ces tirages ne survient qu'une fois sur 4 avant le deuxième, bien que leurs temps d'attente moyens soient identiques.

Le "paradoxe de Penney" constitue ainsi un contre-exemple montrant que si deux variables aléatoires X et X' suivent la même loi, on n'a pas forcément pour autant P(X < X') = P(X > X').


[1] C'est pourtant souvent comme ceci qu'il est décrit.