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La brachistochrone

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Nombres

Physique

Étant donné deux points A et B non à la verticale l'un de l'autre, et un point M astreint à se déplacer sans frottement sur une courbe de A à B, déterminer la forme de la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal.

M descend de A à B sans frottement

Cette question, l'un des premiers problèmes variationnels, avait été examinée par Galilée en 1638. Il avait remarqué que la solution n'était pas le segment de droite [ AB] , et conjecturé faussement que c'était un arc de cercle.

En 1696, Jean Bernouilli lança le défi de trouver la solution avant pâques 1697. La réponse fut trouvée par Newton, Leibniz, L'Hospital, et les frères Bernouilli (Jean et Jacques). La courbe est une arche de cycloïde, que décrit un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Cette courbe, déjà étudiée par Pascal en 1649 et Huygens en 1673, était alors bien connue.

génération d'une cycloïde

Si l'on note y=f( x) l'équation de la courbe cherchée, avec f(xA) = yA et f(xB) = yB, on est conduit à rechercher la fonction f de classe 𝒞1 pour laquelle l'intégrale

J =

xB


xA

1+y'2

2g(yAy)
 dx
est minimale.

Par les deux points A et B, il passe en général un et un seul arc de cycloïde :

une seule arche de cycloïde passe par A et B.

Le calcul est implacable et confirme le résultat étonnant selon lequel le point M doit parfois descendre en-dessous de B pour remonter ensuite, afin de minimiser le temps de parcours.