La longueur de la côte

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Nous quittons l'infini pour aborder quelques paradoxes dans le domaine de la mesure, un notion pas si intuitive qu'il y paraît.

Quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? L'affaire n'est pas simple, comme l'a remarqué L. Richardson. Un étalon de mesure grossier laissera échapper les petites sinuosités. Un étalon plus petit prendra en compte les baies et les pointes... En fait, la longueur obtenue sera d'autant plus grande que l'étalon choisi sera petit. Si l'on porte sur un graphique log-log la longueur mesurée face à l' unité de mesure choisie, on obtient une droite (non horizontale !) dont la pente est la dimension fractale de la côte et est comprise entre 1 et 2, strictement.

Pour la côte occidentale de la Grande-Bretagne, très déchiquetée, la dimension fractale vaut 1,25. Pour des profils moins déchiquetés, comme celui du Portugal, entre 1,13 et 1,15. Pour le littoral presque rectiligne de l'Afrique du Sud, ou pour les Landes, 1,02 seulement. Pour l'ouest de la Bretagne, 1,40 !

Cette dimension non entière est une caractéristique des objets fractals, qui contiennent des copies d'eux-mêmes en modèle réduit. Il y en a différentes définitions, plus ou moins perfectionnées. Une des plus simples est la dimension d'homothétie. Soit un domaine D subissant une homothétie de rapport k fournissant N copies isométriques au domaine initial. Alors N=k^doù d est la dimension d'homothétie, d'où

... alors N = 4, k = 3 et donc d = ln4/ln3 ≃ 1,262.