Les paradoxes de Grelling et de Quine

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Un mot du langage étant donné, on peut tenter de lui appliquer sa propre signification. Parfois cela marche, parfois non. Par exemple : "court'' est un mot court, "polysillabique'' est un mot polysillabique ; en revanche "monosyllabique'' n'est pas monosyllabique, "anglais'' n'est pas un mot anglais, etc.

Convenons d'appeler un terme autologique s'il appartient à la première catégorie (on peut lui appliquer son propre sens), et hétérologique dans le cas contraire. Ainsi, hétérologique est la négation de autologique : chaque mot doit être l'un ou bien l'autre.

Le paradoxe de Grelling surgit lorsqu'on essaie d'insérer "hétérologique'' dans cette classification. S'il est hétérologique, alors c'est qu'on peut lui appliquer son propre sens (et il est donc autologique). S'il est autologique, alors par définition il est hétérologique. On entre dans un cercle sans fin où l'autoréférence est patente.

En est-il de même de la phrase suivante :

"est composé de cinq mots" est composé de cinq mots.

On n'y rencontre nulle part "cette phrase". La deuxième partie se réfère précisément à l'expression entre guillemets, non à l'ensemble de la phrase. Celle-ci est formé selon un processus bien précis appelé quinification (du nom du philosophe américain Willard R. Quine. La terminologie est due à D. Hofstadter [Gödel, Escher, Bach ; Interéditions 1991]). On part d'une phrase sans sujet (un "prédicat") et on la fait précéder d'elle-même, placée entre guillemets. Selon les cas, on obtient un énoncé vrai (comme dans l'exemple précédent) ou faux ("est un ours polaire" est un ours polaire...). Nulle autoréférence ici : placer la proposition entre guillemets en fait un objet (linguistique) et la propriété que l'on teste sur cet objet lui est extérieure.

Le paradoxe de Quine survient lorsqu'on tente d'appliquer le processus à la phrase suivante :

donne une fausseté après quinification.

Quinifions donc :

"donne une fausseté après quinification"

donne une fausseté après quinification

Est-ce vrai ou faux ? Pour en décider, il faudrait quinifier encore, et encore... La valeur de vérité ne se dérobe pas ici dans un cercle vicieux, mais dans un cycle infini d'applications de la même règle.

Ce problème est plus profond que les précédents. Le mécanisme en jeu ici est semblable à celui qu'utilisa Gödel pour mettre en évidence que "certains théorèmes ne pouvaient pas être démontrés", cf. les indécidables.