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Le dilemme de Monty Hall

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Mesure

Probas

Nombres

Physique

 Dans les années 70, en participant à l'émission télévisée américaine, alors célèbre, Let's make a deal, vous auriez pu gagner une Cadillac ou... une chèvre. Le candidat devait choisir une porte parmi 3. L'une cachait la Cadillac, les deux autres des chèvres. Après son premier choix, l'animateur Monty Hall (qui savait tout) ouvrait une (mauvaise) porte parmi les deux non choisies. Il proposait au candidat, soit de garder son choix initial, soit de changer pour l'autre porte encore non ouverte. Qu'avait-il intérêt à faire ?

Monty Hall

Une réflexion superficielle incite à l'indifférence : Il reste deux portes qui jouent le même rôle, donc le gros lot a autant de chance d'être derrière l'une ou l'autre. Pourtant...

Le candidat à intérêt à changer.

Un solide calcul de probabilités conditionnelles confirme la bonne intuition. La voiture n'a qu'une probabilité P(A) =1/3 d'être derrière la porte A initialement choisie, et 2/3 de ne pas y être. L'ouverture d'une mauvaise porte n'y change rien, et la probabilité de 2/3 se reporte tout entière sur la porte restante, qui a deux fois plus de chance de dissimuler la superbe limousine.

En plus détaillé, et en notant encore X l'événement la Cad est derrière la porte X pour X∈{A, B, C} :

Probabilité que Monty ouvre B si le prix est en A :

P(Monty ouvre B | A) = 1/2

Probabilité que Monty ouvre B si le prix est en B :

P(Monty ouvre B | B) = 0

Probabilité que Monty ouvre B si le prix est en C :

P(Monty ouvre B | C) = 1

Probabilité que Monty ouvre B :

P ( Monty ouvre B )
 = 
P ( A ) P ( M. ouvre B | A )
   
+ P ( B ) P ( M. ouvre B | B )
   
+ P ( C ) P ( M. ouvre B | C )
  = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2

Alors d'après la formule de Bayes :

P ( A | M. ouvre B )  = 
P(A)P(M. ouvre B | A)
P(M. ouvre B)
 = 

1/6
1/2		  = 1/3

et

P ( C | M. ouvre B )  = 

P(C)P(M. ouvre B | C)
P(M. ouvre B)
  = 
1/3
1/2		  = 2/3

Une jeune femme membre de la Mensa (QI stratosphérique donc) se nommait fort à propos Marylin Vos Savant.

Marylin Vos Savant

Elle tenait une chronique hebdomadaire où elle résolvait toutes sortes de problèmes. Elle y avait déclaré que le candidat avait intérêt à changer. Cela lui avait valu plus de 10 000 réponses de lecteurs. Parmi ceux-ci, des mathématiciens éminents, mais néanmoins fourvoyés, dont les réactions allaient de la consternation au mépris affiché. Plus d'un eut à se confondre en plates excuses.

Le résultat correct est si peu intuitif (l'animateur donne la réponse au candidat dans 2 cas sur 3 !) que l'erreur est tentante. Tout change, par exemple, si l'on considère que Monty ne sait pas où est la Cadillac.