Accueilretour

Les intangibles

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Certains objets mathématiques existent, on le prouve, mais on ne peut en construire d'exemple explicite. Non que personne n'ait encore eu le courage pour chercher, ou l'intuition pour découvrir un tel exemple. Au contraire, on prouve également qu'aucune construction explicite n'est possible. On les appelle intangibles [1].

Comment cela se peut-il ?

L'un des axiomes classiques de la théorie des ensembles est l'axiome du choix (AC). Il exprime que l'on peut choisir simultanément des objets dans chaque ensemble non vide d'une collection, même si celle-ci est infinie. Certaines entités mathématiques très raisonnables leur doivent leur existence, comme les bases dans les espaces vectoriels quelconques.

AC est relativement intuitif : K. Gödel a d'ailleurs prouvé que si la théorie des ensembles classique ZF (pour Zermelo-Fraenkel) était consistante sans AC, alors elle l'était avec. Cependant, AC ne va pas de soi pour autant. En effet, P. Cohen a prouvé en 1963 que si ZF était consistante sans AC, alors elle l'était encore avec la négation de AC...

Une version légèrement (mais strictement) plus faible de AC est l'axiome des choix dépendants (DC). Il donne également la possibilité de choisir une infinité d'objets, mais chaque choix dépendant de celui (ou ceux) effectués précédemment. La nécessité de préciser cette dépendance correspond intuitivement aux objets pour lesquels une construction explicite est possible.

Mais, on l'a dit, DC est strictement plus faible que AC. C'est pour cela qu'il y a des intangibles. ZF + AC garantit l'existence de ces objets, que ZF + DC seulement ne suffit pas pour construire.

De telles exceptions sont rares et nécessairement assez complexes. Peu d'exemples sont compréhensibles au niveau sup/spé. Tout au plus peut-on citer :

  • une relation de bon ordre sur ;

  • deux normes d'espace vectoriel complètes et non équivalentes (voir cours de spé...)

Pour bien saisir la notion d'intangible, il faut réaliser en outre que cela ne s'applique pas à l'objet lui-même, mais à la propriété. On peut très bien tomber "par hasard" sur un intangible, ce qui est inaccessible c'est la démonstration de son appartenance à la catégorie d'objet étudiée. En d'autre termes, vous pouvez parfaitement croiser dans la rue un bon ordre sur . Seulement, vous ne pourrez jamais le reconnaître comme tel.

Enfin, il existe une hiérarchie des intangibles. Certaines catégories d'objets (comme les parties de non mesurables au sens de Lebesgue) ne peuvent en effet être identifiées comme intangibles sans des hypothèse renforcées (en sus de la consistance de ZF).


Note

[1] Terminologie due à E. Schechter, dont l'ouvrage Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, 1998, contient entre autres une étude extrêmement détaillée de ces phénomènes. Cet ouvrage dispose d'une version sur CD-ROM et d'un site web compagnon,