Les paradoxes de Cantor et de Russell

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Le premier de quelques paradoxes de logique mathématique et de théorie des ensembles...

À la fin du XIX^ème siècle, il ne venait pas à l'esprit qu'une collection d'objets être autre chose qu'un ensemble. Cantor élaborait alors sa théorie des cardinaux. Par un argument inattaquable, il prouvait que pour tout ensemble E (fini ou infini), l'ensemble des parties de E est de cardinal strictement supérieur à celui de E : card(E) < card𝒫(E) , théorème qui porte son nom. Il était déjà assez choquant , car il introduisait une hiérarchie sans fin de cardinaux infinis. L'Italien Burali-Forti fit alors la remarque suivante (parmi d'autres, qui ébranlèrent sérieusement les nerfs de Cantor. Sa théorie s'en remit, pas lui... Il ne s'agit pas du paradoxe de Burali-Forti, qui concerne un point plus technique sur les ensembles ordinaux.).

Lorsque E est l'ensemble de tous les ensembles, les éléments de 𝒫(E) sont des ensembles, donc ils doivent appartenir à E. Ainsi doit-on avoir 𝒫(E) ⊂ E. Mais alors, card𝒫(E) ≤ card(E), contredisant le résultat de Cantor. Il fallut bien se rendre à l'évidence : l'ensemble E n'en était pas un --- et le théorème de Cantor demeure la justification de ce point : la collection de tous les ensembles n'est pas un ensemble.

Il fallut réviser l'opinion courante selon laquelle toute propriété P était naturellement associée à un ensemble d'objets la vérifiant :

E  ={x | P(x) }.

C'était le "Principe de Compréhension Généralisé''.

En 1903, le logicien Gottlob Frege venait à peine de confier à l'imprimeur le deuxième tome de son ouvrage majeur (commencé en 1893 !), censé récapituler les connaissance logiques de l'époque. Son confrère Bertrand Russell proposa alors de considérer la propriété "x∉x'' pour former R = {x | x∉x}.

Évidemment, un tel "ensemble'' faisait scandale, puisqu'il était impossible d'assigner une valeur de vérité à la proposition "R∈R''. Toute la théorie de Frege s'écroulait. Celui-ci réagit avec flegme en déclarant :

"Rien n'est plus indésirable, pour un homme de science, que de voir les fondations de son travail se dérober au moment où celui-ci est achevé. [...]"

On prit alors conscience que les propriétés ne correspondaient pas intrinsèquement à des ensembles. Dans la théorie ensembliste contemporaine, le paradoxe est résolu en considérant, pour un ensemble E donné, F = {x∈E | x∉x}. Il en résulte un théorème inoffensif et facile à prouver (essayez !) : F∉E. L'important est que pour tout ensemble (E), il existe toujours au moins un objet (F) n'appartenant pas à E. Autrement dit, rien ne contient tout et : la collection de tous les objets n'est pas un ensemble.