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Le paradoxe de St. Petersbourg

Sémantique

Logique

Infini

Mesure

Probas

Nombres

Physique

Le domaine des jeux donne lieu à plus d'un (pseudo)paradoxe probabiliste.

Imaginons un jeu particulièrement rudimentaire où le joueur parie sur le résultat d'un tirage à pile ou face. Plus précisément, il parie 1 que le résultat du premier lancer sera face, 2 que le deuxième lancer donnera face (si cela ne s'est pas produit au premier lancer), 4 sur un résultat face au 3ème lancer et ainsi de suite. Son espérance de gain est alors




1

2
.1 +


1

4
.2 +


1

8
.4 + ... =


1

2
 +


1

2
 +


1

2
... :
elle semble infinie. Apparemment le joueur peut se retrouver perdant d'un montant arbitraire et finalement s'en sortir gagnant à tous les coups.

Ce paradoxe a été proposé pour la première fois par Daniel Bernoulli.

Le paradoxe existe à cause de la confusion qu'on introduit entre l'espérance du gain seul et l'espérance de la somme d'argent gagnée au cours du jeu. Autrement dit, ou oublie l'espérance de perte.

Si l'on tient compte de cette dernière, en incluant dans le calcul les sommes investies au cours du jeu, on est conduit à l'analyse suivante. Au moment où le joueur gagne pour la première fois, disons au nième tirage, il aura perdu auparavant


n1
k=1
2k1 =


12n1

  12
 = 2n11 €
À ce nième tirage en revanche, il remporte 2n1 . Cela signifie donc que son espérance de gain net est un maigre euro, quel que soit le nombre de tirages nécessaire pour finalement gagner. Comme on pouvait s'en douter, la somme impressionnante remportée après une longue série de pile est exactement compensée par le montant que le joueur a dû investir.

En fait, en remarquant que la probabilité de gagner au nième tirage est exactement 1/2n, on peut voir que le nombre de tirages nécessaires pour parvenir au gain suit exactement une distribution géométrique de paramètre p = 1/2 :

la distribution correspondant à

P(n) = p qn1

q = 1p.