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Le domaine des jeux donne lieu à plus d'un (pseudo)paradoxe
probabiliste.
Imaginons un jeu particulièrement rudimentaire où le joueur parie
sur le résultat d'un tirage à pile ou face. Plus précisément, il
parie 1 que le résultat du premier lancer sera
face, 2 que le deuxième
lancer donnera face (si cela ne s'est pas produit au premier
lancer), 4 sur un résultat face au 3ème
lancer et ainsi de suite. Son espérance de
gain est alors
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.1 +
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.2 +
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.4 + ... =
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+
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+
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... :
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elle semble infinie. Apparemment le joueur peut se retrouver perdant
d'un
montant arbitraire et finalement s'en sortir gagnant à tous les
coups.
Ce paradoxe a été proposé pour la première fois par Daniel
Bernoulli.
Le paradoxe existe à cause de la confusion qu'on introduit entre
l'espérance du gain seul et l'espérance de la somme
d'argent
gagnée au cours du jeu. Autrement dit, ou oublie
l'espérance de
perte.
Si l'on tient compte de cette dernière, en incluant dans le
calcul les
sommes investies au cours du jeu, on est conduit à l'analyse
suivante.
Au moment où le joueur gagne pour la première fois, disons au nième tirage, il aura perdu auparavant
À ce nième tirage en
revanche, il remporte 2n−1 . Cela signifie
donc que son espérance de gain net
est un maigre euro, quel que soit le nombre de tirages nécessaire
pour
finalement gagner. Comme on pouvait s'en douter, la somme
impressionnante
remportée après une longue série de pile est exactement compensée
par le montant que le
joueur a dû investir.
En fait, en remarquant que la probabilité de gagner au nième tirage est exactement 1/2n, on peut voir que le nombre de
tirages nécessaires pour parvenir au gain suit exactement une distribution
géométrique de paramètre p = 1/2 :
la distribution
correspondant à
P(n) = p
qn−1
où q = 1−p.
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