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Les cercles de Villarceau du tore

Courbes & surfaces

Ensembles, nombres & graphes


Pour engendrer un tore, rien de plus facile. Il suffit de prendre un cercle, de le faire tourner autour d'un axe qui lui est coplanaire mais non sécant, et le tour est joué. On dit que le tore est une surface de révolution.

Outre la famille de ses cercles générateurs (ses méridiennes), le tore contient une autre famille "évidente" de cercles. On les obtient en coupant le tore par tout plan perpendiculaire à son axe de révolution.

Mais il existe une troisième famille de cercles, plus étonnante, cachée dans le tore. Ce sont les cercles de Villarceau. Voici comment les déterminer. Il existe des plans qui sont tangents au tore en exactement deux points (cf. schéma).

Le résultat d'Yvon Antoine Villarceau (1848) est que l'intersection de chacun de ces plans avec le tore est la réunion de deux cercles sécants. Chacun d'entre eux engendre le tore par rotation convenable au même titre que ses cercles méridiens.