La trompette de Gabriel
Sémantique
Logique
Infini
Mesure
Probas
Nombres
Physique
Voici pour vous faire économiser de la peinture ou dépenser une fortune à Bricomarché, selon votre manière de peindre...
Empilons des cubes évidés de côté a/√n pour n ≥ 1. Le volume obtenu pour les N premiers cubes est ∑n=1Na3/n√n̅, or cette suite converge quand N → ∞ vers une limite a3ζ(3/2) = a3∑n=1∞1/n3/2. On peut donc remplir la structure obtenue. Mais imaginons d'en peindre les faces internes : pour N cubes, il faudrait 4a2∑n=1N1/n [1], or cette quantité tend vers... +∞.
Il y a paradoxe : on ne peut pas peindre, mais on peut remplir de peinture...
Cette situation admet un analogue continu :
La trompette de Gabriel est la surface de révolution obtenue en faisant tourner une hyperbole équilatère autour d'une de ses asymptotes.
Son équation en coordonnées sphériques est r z = a2. On la paramètre en coordonnées cartésiennes
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⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ |
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On peut résoudre ces paradoxes de la manière suivante. Une quantité infinie de peinture serait nécessaire si l'on appliquait celle-ci en une couche d'épaisseur constante. Mais en choisissant judicieusement une décroissance vers 0 de l'épaisseur de peinture [3], on retrouve une quantité finie.
Pour plus de détails sur la trompette de Gabriel, voir le très complet site de R. Ferreol sur les courbes et les surfaces.
Notes
[1] en fait un peu plus, pour tenir compte du surplomb du cube n sur le cube n+1, mais ce n'est pas nécessaire.
[2] en effet,
cette intégrale diverge selon la règle de Riemann en l'origine.
[3] de toute façon indispensable, puisque le diamètre de la section transversale tend vers 0 lui aussi.