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Programme officiel

Classe de 2nde année PC

Algèbre linéaire

A- Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Endomorphismes des espaces euclidiens

Espaces vectoriels normés

Suites et séries de fonctions

A - Compléments sur les séries numériques

B - Suites et séries de fonctions

C - Séries entières

Intégration sur un intervalle quelconque

Variables aléatoires discrètes

A - Ensembles dénombrables, familles sommables

B - Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles

C - Espérance et variance

Calcul différentiel

A - Dérivabilité des fonctions vectorielles

B - Fonctions de plusieurs variables

Algèbre linéaire

Dans toute cette partie, 𝕂 désigne ℝ ou ℂ.

A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Le programme est organisé autour de trois objectifs :
  • consolider les acquis de la classe de première année ;
  • introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
  • passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.

1. Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels

Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels ; dimension dans le cas où ces espaces sont de dimension finie.
Somme, somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels.
En dimension finie, base adaptée à un sous-espace vectoriel, à une décomposition E = ⊕Ei.

Décomposition en somme directe obtenue par partition d’une base.

Si F1, ..., Fp sont des sous-espaces de dimension finie, alors :

dim ∑iFi ≤ ∑idimFi

avec égalité si et seulement si la somme est directe.

2. Matrices par blocs et sous-espaces stables

Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition).
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit.

Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel par un endomorphisme et interprétation en termes d’endomorphismes d’une matrice triangulaire ou diagonale par blocs.

Si u et v commutent alors le noyau de u est stable par v.

3. Trace

Trace d’une matrice carrée.

Notation tr(A).

Linéarité, trace d’une transposée.
Relation tr(AB) = tr(BA).
Invariance de la trace par similitude. Trace d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie.

4. Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées

Polynôme d’un endomorphisme, d’une matrice carrée.
Relation (PQ)(u) = P(u)∘Q(u).

Polynôme annulateur.
Application au calcul de l’inverse et des puissances.

Deux polynômes de l’endomorphisme u commutent.
Le noyau de P(u) est stable par u.

Adaptation de ces résultats aux matrices carrées.

5. Interpolation de Lagrange

Base de 𝕂n[X] constituée des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points distincts de 𝕂.
Expression d’un polynôme P∈𝕂n[X] dans cette base.
La somme des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points est le polynôme constant égal à 1.

Déterminant de Vandermonde.
Lien avec le problème d’interpolation de Lagrange.

B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année.
Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :

  • l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
  • l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).

L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.

1. Éléments propres

Droite stable par un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme.
Équation aux éléments propres u(x) = λx.
Si u et v commutent, les sous-espaces propres de u sont stables par v.

Spectre d’un endomorphisme en dimension finie.
Notation Sp(u).
La notion de valeur spectrale est hors programme.

La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe.
Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

Si un polynôme P annule u, toute valeur propre de u est racine de P.
Si u(x) = λx, alors P(u)(x) = P(λ)x.

Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée.
Équation aux éléments propres AX = λX.

2. Polynôme caractéristique

Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
Par convention le polynôme caractéristique est unitaire.
Notations χA , χu.
Coefficients de degrés 0 et n−1.
Les valeurs propres d’un endomorphisme de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.
Spectre complexe d’une matrice carrée réelle.

Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.

Théorème de Cayley-Hamilton.
La démonstration n’est pas exigible.

3. Diagonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit diagonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale.
Une telle base est constituée de vecteurs propres.

Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Interprétation en termes d’endomorphisme.
Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable.
Dans la pratique des cas numériques, on se limite à n=2 ou n=3.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel E est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à E.
Exemple des projecteurs et des symétries.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace.
Traduction matricielle.

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂 et si, pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité.
Traduction matricielle.
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
Traduction matricielle.

4. Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.

L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s’il admet ∏λ∈Sp(u)(X−λ) pour polynôme annulateur.

5. Trigonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des valeurs propres.

Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Toute matrice de 𝓜n(ℂ) est trigonalisable.

La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication.

Endomorphismes des espaces euclidiens

Cette section vise les objectifs suivants :

  • consolider les acquis de la classe de première année sur les espaces préhilbertiens réels ;
  • étudier isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux en insistant sur les représentations géométriques ;
  • approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
  • introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.

Pour les applications courantes en dimension trois, on peut au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et
connu des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.

1. Isométries vectorielles d’un espace euclidien

Un endomorphisme d’un espace euclidien est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme.
Exemple : symétries orthogonales, cas particulier des réflexions.
Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par l’image d’une base orthonormée.

Groupe orthogonal.
Notation 𝓞(E).
On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme.

Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable.

2. Matrices orthogonales

Une matrice A de 𝓜n(ℝ) est orthogonale si A⊤ A = In.
Interprétation en termes de colonnes et de lignes.
Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée.

Caractérisation d’une isométrie vectorielle à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «automorphisme orthogonal», tout en lui préférant celle d’«isométrie vectorielle».

Groupe orthogonal.
Notations 𝓞n(ℝ), 𝓞(n).
Déterminant d’une matrice orthogonale. Groupe spécial orthogonal.
Notations 𝓢𝓞n(ℝ), 𝓢𝓞(n).

Orientation. Bases orthonormées directes.

3. Isométries vectorielles d'un plan

Description des matrices de 𝓞2(ℝ), de 𝓢𝓞2(ℝ).
Commutativité de 𝓢𝓞2(ℝ).

Rotation vectorielle d’un plan euclidien orienté.
On introduit à cette occasion, sans soulever de difficulté, la notion de mesure d’un angle orienté de vecteurs non nuls.

Classification des isométries vectorielles d’un plan euclidien.

4. Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles

Endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien.
Notation 𝓢(E).
Caractérisation des projecteurs orthogonaux.

Caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «endomorphisme symétrique», tout en lui préférant celle d’«endomorphisme autoadjoint».

Théorème spectral :
tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres.
La démonstration n’est pas exigible.
Forme matricielle du théorème spectral.

Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢+(E), 𝓢++(E).

Matrice symétrique positive, définie positive.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢n+(ℝ), 𝓢n++(ℝ).

Espaces vectoriels normés

Cette section vise les objectifs suivants :
  • généraliser au cas des espaces vectoriels sur 𝕂 = ℝ ou ℂ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
  • fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.

1. Normes

Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Espace vectoriel normé.
Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel.
Normes usuelles ||  ||1, ||  ||2 et ||  ||∞ sur ℝn.
Norme ||  ||∞ sur un espace de fonctions bornées à valeurs dans 𝕂.
L’égalité sup(kA) = ksup(A) pour A partie non vide de ℝ et k∈ℝ+ peut être directement utilisée.

Distance associée à une norme.

Boules ouvertes, boules fermées, sphères.

Parties convexes.
Convexité des boules.

Parties bornées, suites bornées, fonctions bornées.

2. Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé

Convergence et divergence d’une suite.
Exemples dans des espaces de matrices, dans des espaces de fonctions.

Unicité de la limite. Opérations sur les limites.

Une suite convergente est bornée.

Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente.

3. Comparaison de normes

Normes équivalentes.
Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite.
Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.

La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du programme. On se limite en pratique à des
exemples élémentaires.

4. Topologie d’un espace vectoriel normé

Point intérieur à une partie.
Ouvert d’un espace normé.
Une boule ouverte est un ouvert.
Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie.

Fermé d’un espace normé.
Caractérisation séquentielle.
Une boule fermée, une sphère, sont des fermés.
Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque.

Point adhérent à une partie, adhérence.
L’adhérence est l’ensemble des points adhérents.
Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de l’adhérence est hors programme.

Partie dense.

Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente.

5. Limite et continuité en un point

Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de définition.
Caractérisation séquentielle.

Opérations algébriques sur les limites, composition.

Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.

6. Continuité sur une partie

Opérations algébriques, composition.

Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue.
Si f est une application continue de E dans ℝ alors l’ensemble défini par f(x)>0 est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0 ou f(x)≥0 sont des fermés.

Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue.

7. Espaces vectoriels normés de dimension finie

Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.

Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.

Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.

Exemples du déterminant, du produit matriciel.

Suites et séries de fonctions

A - Complément sur les séries numériques

Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.
L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.

Technique de comparaison série-intégrale.
Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction monotone.

Formule de Stirling : équivalent de n!.
La démonstration n’est pas exigible.

Règle de d’Alembert.

Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste.
La transformation d’Abel est hors programme.

Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
La démonstration n’est pas exigible.

B - Suites et séries de fonctions

L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions et d’étudier le
transfert à la limite, à la somme des propriétés des fonctions.
Les fonctions sont définies sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ.

1. Modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions

Convergence simple, convergence uniforme d'une suite de fonctions.
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées à valeurs dans ℝ ou ℂ.

Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d'une série de fonctions.
Utilisation d’une majoration uniforme de |fn(x)| pour établir la convergence normale de ∑fn.

La convergence normale entraîne la convergence uniforme.
La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point.

2. Régularité de la limite d'une suite de fonctions

Continuité de la limite d'une suite de fonctions : Si (fn) converge uniformément vers f sur I et si, pour tout n, fn est continue sur I, alors f est continue sur I.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Intégration sur un segment de la limite d’une suite de fonctions :
si une suite (fn) de fonctions continues converge uniformément vers f sur [a, b] alors

∫ab limn→+∞fn(t)dt = limn→+∞ ∫ab fn(t)dt.

Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions :
si (fn) est une suite de fonctions de classe 𝒞1 sur I qui converge simplement sur I vers f et telle que la suite (f'n) converge uniformément sur I vers g, alors f est de classe 𝒞1 sur I et f'=g.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension aux fonctions de classe 𝒞k, sous l'hypothèse de convergence uniforme de (fn(k)) et de convergence simple des (fn(j)) pour 0 ≤ j < k.

3.  Régularité de la somme d'une série de fonctions

Continuité de la somme d’une série de fonctions : si une série ∑fn de fonctions continues sur I converge uniformément sur I, alors sa somme est continue sur I.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de la double limite : si une série ∑fn de fonctions définies sur I converge uniformément sur I et si, pour tout n, fn admet une limite ℓn en a borne de I (éventuellement infinie), alors la série ∑ℓn  converge, la somme de la série admet une limite en a et :

∑n=0∞fn(x) →x→a ∑n=0∞ℓn.

La démonstration est hors programme.

Intégration de la somme d'une série de fonctions :
si une série de fonctions continues converge uniformément sur [a, b], alors la série des intégrales est convergente et :

∫ab∑n=0+∞fn(t)dt = ∑n=0+∞∫abfn(t)dt.

Dérivation de la somme d'une série de fonctions :
si une série ∑fn de fonctions de classe 𝒞1 converge simplement sur un intervalle I et si la série ∑f'n converge uniformément sur I, alors la somme ∑n=0+∞fn est de classe 𝒞1 sur I et sa dérivée est ∑n=0+∞f'n.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe 𝒞k sous hypothèse similaire à celle décrite dans le cas des suites de fonctions.

C - Séries entières

Les objectifs de cette section sont les suivants :

  • étudier la convergence d’une série entière et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
  • étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la continuité dans le cas d’une variable complexe ;
  • établir les développements en série entière des fonctions usuelles.

Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la notion de fonction génératrice en probabilités.

1. Rayon de convergence

Série entière de la variable réelle, de la variable complexe.

Lemme d'Abel :
si la suite (anz0n) est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < |z0|, la série ∑anzn est absolument convergente.

Rayon de convergence R défini comme borne supérieure dans [0,+∞] de l'ensemble des réels positifs r tels que la suite (anrn) est bornée.
La série ∑anzn converge absolument si |z| < R, et elle diverge grossièrement si |z| > R.
Intervalle ouvert de convergence, disque ouvert de convergence,

Avec Ra (resp. Rb) le rayon de convergence de ∑anzn (resp. ∑bnzn),
  • si an = O(bn) , alors Ra ≥ Rb ;
  • si |an| ∼ |bn| , alors Ra = Rb.
Pour α∈ℝ, R(∑nαxn) = 1.
Le résultat s’applique en particulier lorsque an = o(bn).

Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au calcul du rayon.
La limite du rapport |an+1|/|an| peut être directement utilisée.

Calcul du rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières.

2. Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle

Convergence normale d’une série entière d’une variable réelle sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.
Continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence.

L’étude des propriétés de la somme au bord de l’intervalle ou du disque de convergence n’est pas un objectif du programme.

Primitivation d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence.
Relation R(∑anxn ) = R(∑nanxn).

Caractère 𝒞∞ de la somme d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence et obtention des dérivées par dérivation terme à terme.

Expression des coefficients d’une série entière au moyen des dérivées successives en 0 de sa somme.

3. Développement en série entière au voisinage de 0 d'une fonction de la variable réelle

Fonction développable en série entière sur un intervalle ]−r,r[.

Série de Taylor d'une fonction de classe 𝒞∞.
Unicité du développement en série entière.
Formule de Taylor avec le reste intégral.

Développements des fonctions usuelles.
Les étudiants doivent connaître les développements en série entière des fonctions exponentielle, cosinus, sinus, cosinus et sinus hyperboliques, Arctan, x ↦ ln (1+x) et x ↦ (1+x)α.

Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série entière à l’aide d’une équation différentielle linéaire.
L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.

4. Séries géométrique et exponentielle de la variable complexe

Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe sur le disque ouvert de convergence.
La démonstration est hors programme.

Développement de 1/(1−z) sur le disque unité ouvert.
Développement de exp(z) sur ℂ.

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Intégration sur un intervalle quelconque

Cette section vise les objectifs suivants :
  • étendre la notion d’intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées ;
  • définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intégrable ;
  • compléter la section dédiée aux suites et aux séries de fonctions par les théorèmes de convergence dominée et d’intégration terme à terme ;
  • étudier les fonctions définies par des intégrales dépendant d’un paramètre.
On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l’intégration par parties ou
le changement de variable, on n’impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des résultats utilisés. De même, dans
l’application des théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite
à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d’intégration.
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de ℝ et à valeurs dans 𝕂, ensemble des nombres réels ou des
nombres complexes.

1. Fonctions continues par morceaux

Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle de ℝ.

Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.
Brève extension des propriétés de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment étudiées en première année.
Aucune construction n’est exigible.

2. Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme [a,+∞[

Pour f continue par morceaux sur [a,+∞[, l'intégrale ∫a+∞ f(t)dt est dite convergente si ∫axf(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers +∞.
Notation ∫a+∞ f(t)dt, ∫a+∞ f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en +∞.
Si f est continue par morceaux sur [a,+∞[ et à valeurs positives, alors ∫a+∞ f(t)dt converge si et seulement si x ↦ ∫ax f(t)dt est majorée.
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, +∞[ telles que 0 ≤ f ≤ g, la convergence de ∫a+∞ g implique celle de ∫a+∞ f.

3. Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de ℝ.
Notation ∫ab f(t)dt, ∫ab f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en b, en a.

Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :

∫abf(t)g'(t)dt = [fg]ab− ∫abf'(t)g(t)dt.

La démonstration n’est pas exigible. L'existence des limites du produit fg aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales de fg' et f'g sont de même nature.

Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.
Changement de variable :
si φ : ]α, β[ → ]a, b[ est une bijection strictement croissante de classe 𝒞1 , et si f est continue sur ]a, b[par morceaux alors  ∫abf(t)dt et ∫αβ(f∘φ)(t)φ'(t)dt sont de même nature, et égales en cas de convergence.
La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où φ  est strictement décroissante.

On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.

4. Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables

Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire.
L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I si son intégrale sur I est absolument convergente.
Notations ∫If, ∫If(t)dt.
Pour I = [a, b[, (respectivement ]a, b]), fonction intégrable en b (resp. en a).

Espace vectoriel L1(I, 𝕂) des fonctions intégrables sur I à valeurs dans 𝕂.

Si f est continue, intégrable et positive sur I, et si ∫If(t)dt = 0, alors f est identiquement nulle.

Théorème de comparaison :
Pour f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ :
  • si f(t) = O(g(t)) [t → ∞], alors l'intégrabilité de g en +∞ implique celle de f.
  • si |f(t)| ∼ |g(t)| [x → ∞], alors l'intégrabilité de f en +∞ est équivalente à celle de g.
Adaptation au cas d'un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si f(t) = o(g(t)) [t → ∞].

Fonctions de référence :
pour α∈ℝ,
  • intégrales de Riemann : étude de l’intégrabilité de t ↦ t−α en +∞, en 0+ ;
  • étude de l’intégrabilité de t ↦ e−αt en +∞.
L’intégrabilité de t ↦ lnt en 0 peut être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de x ↦ |x−a|−α en a peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction x ↦ f(x) est intégrable en a+ (resp. en b−) si t ↦ f(a+t) (resp. t ↦ f(b−t)) l’est en 0+.

5. Suites et séries de fonctions intégrables

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination (resp. convergence de la série des intégrales), sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux.

Théorème de convergence dominée :
si une suite (fn) de fonctions continues par morceaux sur I converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I  et s'il existe une fonction φ intégrable sur I vérifiant |fn| ≤ φ pour tout n, alors les fonctions fn et f sont intégrables sur I et :

∫Ifn(t)dt → n→∞ ∫If(t)dt.

La démonstration est hors programme.

Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑fn de fonctions intégrables sur I converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur I, et si la série ∑∫I|fn(t)|dt converge, alors ∑n=0∞fn est intégrable sur I et :

∫I∑n=0∞fndt = ∑n=0∞∫Ifn(t)dt.

La démonstration est hors-programme.

On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.

6. Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de
domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t .

Théorème de continuité :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :
  • Pour tout t∈I , x ↦ f(x,t) est continue sur A ;
  • Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est continue par morceaux sur I ;
  • Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;
alors la fonction x ↦ ∫If(x,t)dt est définie et continue sur A.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de convergence dominée à paramètre continu :
si A et I sont deux intervalles de ℝ, a une borne de A et f une fonction définie sur A×I telle que :
  • pour tout t∈I , f(x,t) →x→a  ℓ(t) ;
  • pour tout x∈A, t  ↦ f(x,t) et t ↦ ℓ(t) sont continues par morceaux sur I ;
  • il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;
alors ℓ est intégrable sur I et :

∫If(x,t)dt →x→a ∫Iℓ(t)dt.

On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.

 Théorème de dérivation :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :
  • Pour tout t∈J , x ↦ f(x,t) est de classe 𝒞1 sur A ;
  • Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est intégrable sur I ;
  • Pour tout x∈A, t ↦ ∂f/∂x(x,t) est continue par morceaux sur I ;
  • Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait
    |
    |
    		 ∂f
    ∂x
    		 (x,t) |
    |
    		  ≤ φ(t) ;
alors la fonction g : x ↦ ∫If(x,t)dt est de classe 𝒞1 sur A et vérifie :
∀x∈A, g'(x) = ⌠
⌡

I

∂f
∂x
 (x,t) dt

La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe 𝒞k d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de t ↦ ∂kf/∂xk(x,t) et d’intégrabilité des t ↦ ∂jf/∂xj(x,t) pour 0  ≤ j < k.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une équation différentielle élémentaire. L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.

Variables aléatoires discrètes

On généralise l’étude des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini menée en première année aux variables
aléatoires discrètes. Ces outils permettent d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps
discret. La mise en place du cadre de cette étude se veut à la fois minimale, pratique et rigoureuse :
  • la notion de tribu n’appelle aucun autre développement que sa définition ;
  • l’étude de la dénombrabilité d’un ensemble et la construction d’espaces probabilisés sont hors programme ;
  • les diverses notions de convergences (presque sûre, en probabilité, en loi, etc.) sont hors programme.
Toutes les variables aléatoires mentionnées dans le programme sont implicitement supposées discrètes.
La notion de variable à densité est hors programme.
La notion d’espérance conditionnelle est hors programme.

A - Ensembles dénombrables, familles sommables

Ce préambule propose une introduction a minima de la dénombrabilité et des familles sommables, afin de poser les bases de vocabulaire, méthodes et résultats qui seront admis, et directement utilisés. Chaque professeur est libre d’en adapter le contenu au niveau de formalisme qu’il juge préférable pour ses étudiants.
Ces notions ne feront l’objet d’aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.
  • Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s’il est en bijection avec (une partie de)  ℕ, c’est-à-dire s’il peut être décrit en extension sous la forme {xi, i ∈ I} où I =  ℕ (I ⊂  ℕ) avec des xi distincts.
    Sont dénombrables :  ℤ, un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables. Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
  • En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu’on sait associer à toute famille au plus dénombrable (xi)i∈I d’éléments de [0,+∞] sa somme ∑i∈Ixi ∈ [0,+∞], et que pour tout découpage en paquets I = ∪n ∈ℕIn, ∑i∈Ixi = ∑n∈ℕ(∑i∈Inxi).
    La famille (xi)i∈I d’éléments de [0,+∞] est dite sommable si ∑i∈Ixi < ∞. En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.
  • Une famille (xi)i∈I au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si (|xi|)i∈I l’est. Pour I = ℕ, la sommabilité d’une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée. Si |xi| ≤ yi pour tout i∈I, la sommabilité de (yi)i∈I implique celle de (xi)i∈I.

    En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.

B - Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles

1. Univers, événements, variables aléatoires discrètes

Univers Ω, tribu 𝒜. Espace probabilisable (Ω,𝒜).

On se limite à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.

Événements

Traduction de la réalisation des événements ∪n=0∞An et  ∪n=0∞An à l’aide des quantificateurs ∃ et ∀.
Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année.

Une variable aléatoire discrète X est une application définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x}) est un événement.

L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X = x}, (X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et analogues) lorsque X est à valeurs réelles.

2. Probabilité

Probabilité sur (Ω,𝒜), σ-additivité.
Espace probabilisé (Ω,𝒜,P).

Notation P(A).

Probabilité de la réunion ou de la différence de deux événements, de l’événement contraire.
Croissance de la probabilité.
Continuité croissante, continuité décroissante.
Application : pour une suite (An)n∈ℕ d’événements (non nécessairement monotone), limites quand n tend vers l’infini de

P( ∪k=0nAk) et P( ∩k=0nAk).

Sous-additivité : P( ∪n=0∞An) ≤ ∑n=0∞P(An).

En cas de divergence de la série à termes positifs ∑P(An), on rappelle que ∑n=0∞P(An) = +∞.

Événement presque sûr, événement négligeable.

Système quasi-complet d’événements.

3. Probabilités conditionnelles

Si P(B) > 0,  la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par la relation P(A|B) = PB(A) = P(A∩B)/P(B).
L’application PB définit une probabilité.

Formule des probabilités composées.

Formule des probabilités totales.
Si (An)n≥0 est un système complet ou quasi-complet d’événements, alors

P(B) = ∑n=0+∞P(B∩An) = ∑n=0+∞P(B|An)P(An).

On rappelle la convention P(B|An)P(An) = 0 lorsque P(An) = 0.

Formule de Bayes.

4. Loi d’une variable aléatoire discrète

Loi PX d’une variable aléatoire discrète.

La probabilité PX est déterminée par la distribution de probabilités (P(X=x))x∈X(Ω).
On note X ∼ Y lorsque les variables X et Y suivent la même loi, sans soulever de difficulté sur cette notation.

Variable aléatoire f(X).
Si X ∼ Y alors f(X) ∼ f(Y).

On ne soulève aucune difficulté sur le fait que f(X) est une variable aléatoire.

Variable géométrique de paramètre p∈]0,1[ :

∀k∈ℕ* , P(X=k) = p(1−p)k−1.

Notation X ∼ 𝒢(p).
Relation P(X>k) = (1−p)k.
Interprétation comme rang du premier succès dans une suite illimitée d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.

Variable de Poisson de paramètre λ > 0 :

∀k∈ℕ , P(X=k) = e−λλk/k!

Notation X ∼ 𝒫(λ).
Interprétation en termes d’événements rares.

Couple de variables aléatoires discrètes.

Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit.
Notation P(X=x,Y=y).

Loi conjointe, lois marginales.
Extension aux n-uplets de variables aléatoires.

Loi conditionnelle de Y sachant un événement A.

5. Événements indépendants

Indépendance de deux événements.
Si P(B) > 0, l’indépendance de A et B équivaut à P(A|B) = P(A).

Indépendance d’une famille finie d’événements.
L’indépendance deux à deux n’entraîne pas l’indépendance.

Si A et B sont indépendants, A et B̅ le sont aussi.
Extension au cas de n événements.

6. Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur Ω sont indépendantes si, pour tous A⊂X(Ω) et  B⊂Y(Ω), les événements (X∈A) et (Y∈B) sont indépendants.

Notation X⫫Y.
De façon équivalente, la distribution de probabilités de (X,Y) est donnée par

P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y).

Extension au cas de n variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.
On ne soulève aucune difficulté quant à l’existence d’un espace probabilisé portant une suite i.i.d.
Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de variables de Bernoulli.

Fonctions de variables indépendantes : si X⫫Y, alors f(X)⫫g(Y).
Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.

Lemme des coalitions :
si les variables aléatoires X1, ..., Xn sont indépendantes, alors f(X1, ..., Xm) et g(Xm+1, ..., Xn) le sont aussi.
Extension au cas de plus de deux coalitions.

C - Espérance et variance

1. Espérance d’une variable aléatoire discrète réelle ou complexe

Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dans [0, +∞], définie par

E(X) = ∑x∈X(Ω)xP(X=x).

On adopte la convention xP(X=x) = 0 lorsque x=+∞ et P(X=+∞) = 0.

Variable aléatoire X à valeurs réelles ou complexes d’espérance finie, espérance de X.

X est d’espérance finie si la famille (xP(X=x))x∈X(Ω) est sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance de X.
Variable centrée.

Pour X variable aléatoire à valeurs dans ℕ∪{+∞}, relation :

E(X) = ∑n=1∞P(X≥n).

Espérance d’une variable géométrique, de Poisson.

Formule de transfert :
f(X) est d’espérance finie si et seulement si la famille (f(x)P(X=x))x∈X(Ω) est sommable. Dans ce cas :

E(f(X)) = ∑x∈X(Ω)f(x)P(X=x).

On remarque que la formule s’applique aux couples, aux n-uplets de variables aléatoires.

Linéarité de l’espérance.
Si |X| ≤ Y et E(Y) < +∞, alors X est d’espérance finie.
Positivité, croissance de l’espérance.
Si X est positive et d’espérance nulle, alors (X=0) est presque sûr.

Pour X et Y deux variables aléatoires indépendantes d’espérance finie, alors XY est d’espérance finie et :

E(XY) = E(X)E(Y).

Extension au cas de n variables aléatoires.

2. Variance d’une variable aléatoire discrète réelle, écart type et covariance

Si X2 est d’espérance finie, X est d’espérance finie.
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
si X2 et Y2 sont d’espérance finie, alors XY l’est aussi et :

E(XY)2 ≤ E(X2)E(Y2).

Cas d’égalité.

Variance, écart type.
Notations V(X), σ(X).
Variable réduite.

Relation V(X) = E(X2) − E(X)2 .
Relation V(aX+b) = a2V(X).

Si σ(X) > 0, la variable (X−E(X))/σ(X) est centrée réduite.

Variance d’une variable géométrique, de Poisson.

Covariance de deux variables aléatoires.
Relation Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y), cas de deux variables indépendantes.
Variance d’une somme finie, cas de variables deux à deux indépendantes.

3. Fonctions génératrices

Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans ℕ :

GX(t) = E(tX) = ∑n=0+∞P(X = n)tn.
La série entière définissant GX est de rayon ≥1 et converge normalement sur [−1,1]. Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.

La loi d’une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ est caractérisée par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si et seulement si GX est dérivable en 1 ; dans ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X) et V(X).

Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires indépendantes.

4. Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Loi faible des grands nombres :
si  (Xn)n≥1 est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie, alors en notant  Sn = ∑k=1nXk et m = E(X1) , pour tout ε > 0,

P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞ 0.

Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(X1) :

P(|Sn/n − m| ≥ ε) ≤ σ2/(nε2).

Calcul différentiel

A - Dérivabilité des fonctions vectorielles

L’objectif de cette section est de généraliser aux fonctions à valeurs dans ℝn la notion de dérivée d’une fonction numérique.
Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝn.

Dérivabilité en un point.
Dérivabilité sur un intervalle.

Définition par le taux d’accroissement, caractérisation
par le développement limité d’ordre un.
Traduction par les coordonnées dans la base canonique.
Interprétation cinématique.

Combinaison linéaire de fonctions dérivables.
Dérivée de L(f), où L est linéaire et f à valeurs dans ℝn.
Dérivée de B(f,g), où B est bilinéaire, de M(f1, ..., fp), où M est p-linéaire, et f, g, f1, ..., fp à valeurs vectorielles.

La démonstration n’est pas exigible.
Application au produit scalaire et au déterminant.

Dérivée de f◦φ où φ est à valeurs réelles et f à valeurs vectorielles.
Fonction de classe 𝒞k, de classe 𝒞∞ sur un intervalle.

B - Fonctions de plusieurs variables

Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de ℝ2 ont été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de p≥2 variables.
L’étude d’une fonction de ℝp dans ℝn se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de ℝp dans ℝ. Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas p=2 ou p=3.

1. Fonctions de classe 𝒞1

Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation Dvf(a).

Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie sur un ouvert Ω de ℝp à valeurs dans ℝ.

Notations ∂f/∂xi(a). On peut aussi utiliser ∂if(a).

Une fonction est dite de classe 𝒞1 sur Ω si ses dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞1.

Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω admet en tout point a de Ω un développement limité d'ordre 1.

La démonstration n'est pas exigible.

Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω est continue sur Ω.

Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire sur ℝp :

df(a) : (h1, ..., hn) ↦ ∑i=1nhi∂if(a).

Notation df(a)⋅h.

2. Règle de la chaîne

Dérivée de t ↦ f(x1(t), ..., xp(t)).
Application au calcul des dérivées partielles de :
(u1, ..., un) ↦ f(x1(u1, ..., un), ..., xp(u1, ..., un).
En pratique, on se limite à n≤3 et p≤3.

Les étudiants doivent connaître le cas particulier des coordonnées polaires.

Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.

3. Gradient

Dans ℝp muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe 𝒞1.
Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation ∇f(a).
Pour h∈ℝp, relation df(a)⋅h = ⟨∇f(a),h⟩.
Interprétation géométrique du gradient : si ∇f(a)≠0, il est colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de f en a est maximale, et de même sens.

4. Fonctions de classe 𝒞2

Dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction définie sur un ouvert de ℝp à valeurs dans ℝ.
Notation ∂2f/(∂xi∂xj).

Fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de ℝp.

Théorème de Schwarz.
La démonstration est hors programme.

Matrice hessienne en un point a d’une fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de ℝp à valeurs dans ℝ.
Notation Hf(a).

Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 :

f(a+h) =h→0 f(a) + ∇f(a)⊤h + 1/2h⊤Hf(a)h + o(∥h∥2).

Expression en termes de produit scalaire.

5. Extremums d'une fonction de ℝp dans ℝ

Extremum local, global.
Point critique d’une application de classe 𝒞1.

Si une fonction de classe 𝒞1 sur un ouvert de ℝp atteint un extremum local en un point a, alors a est un point critique.

Si f est une fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de ℝp et a un point critique de f :
  • si Hf(a)∈𝓢p++(ℝ), alors f atteint un minimum local strict en a ;
  • si Hf(a)∉𝓢p+(ℝ), alors f n'a pas de minimum a.

Adaptation à l’étude d’un maximum local.
Explicitation pour p=2 (trace et déterminant).

Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie de ℝp.