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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°21 - semaine n°13

dernière semaine de colles avant les écrits

Révision :

Fonctions de plusieurs variables

Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de 2 ont été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de p
≥2 variables.
L’étude d’une fonction de 
p dans n se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de p dans . Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas p=2 ou p=3.

Fonctions de classe 𝒞1 [reprise]

Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation Dvf(a).

Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie sur un ouvert Ω de p à valeurs dans .

Notationsf/∂xi(a). On peut aussi utiliser if(a).

Une fonction est dite de classe 𝒞1 sur Ω si ses dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞1.

Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω admet en tout point a de Ω un développement limité d'ordre 1.

La démonstration n'est pas exigible.

Une fonction de classe
𝒞1 sur Ω est continue sur Ω.

Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire
sur p :

df(a) : (h1, ..., hn) i=1nhiif(a).

Notation df(a)h.

Règle de la chaîne

Dérivée de tf(x1(t), ..., xp(t)).
Application au calcul des dérivées partielles de :
(u1, ..., un f(x1(u1, ..., un), ..., xp(u1, ..., un).
En pratique, on se limite à n3 et p3.

Les étudiants doivent connaître le cas particulier des coordonnées polaires.

Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.

Gradient

Dans p muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe 𝒞1.
Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation
f(a).
Pour hp, relation df(a)h = ⟨∇f(a),h⟩.
Interprétation géométrique du gradient : si ∇f(a)0, il est colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de f en a est maximale, et de même sens.

Fonctions de classe 𝒞2

Dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction définie sur un ouvert de p à valeurs dans .
Notation
2f/(∂xixj).

Fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de p.

Théorème de Schwarz.
La démonstration est hors programme.

Matrice hessienne en un point a d’une fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de p à valeurs dans .
Notation Hf(a).

Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 :

f(a+h) =h→0 f(a) + ∇f(a)h + 1/2hHf(a)h + o(∥h2).

Expression en termes de produit scalaire.

Extremums d'une fonction de p dans

Extremum local, global.
Point critique d’une application de classe 𝒞1.

Si une fonction de classe 𝒞1 sur un ouvert de p atteint un extremum local en un point a, alors a est un point critique.

Si f est une fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de p et a un point critique de f :

Adaptation à l’étude d’un maximum local.
Explicitation pour p=
2 (trace et déterminant).

Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie de p.