|
PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°21 - semaine n°13
|
dernière semaine de colles avant les écrits
Révision :
- EVN ;
- Calcul différentiel.
Fonctions de plusieurs variables
Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur
un ouvert de ℝ2 ont
été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser
cette étude aux fonctions de p≥2 variables.
L’étude d’une fonction de ℝp
dans ℝn se
ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à
l’étude des fonctions de ℝp
dans ℝ. Elle est axée sur
la mise en place d’outils permettant de traiter des applications
du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite
en pratique au cas p=2 ou p=3.
Fonctions de classe 𝒞1 [reprise]
Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation Dvf(a).
Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie
sur un ouvert Ω de ℝp
à valeurs dans ℝ.
Notations ∂f/∂xi(a).
On peut aussi utiliser ∂if(a).
Une fonction est dite de classe 𝒞1 sur Ω si ses
dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞1.
Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω admet en tout
point a de Ω un développement limité d'ordre 1.
La démonstration n'est pas exigible.
Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω
est continue sur Ω.
Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire sur ℝp :
df(a) : (h1,
..., hn) ↦ ∑i=1nhi∂if(a).
Notation df(a)⋅h.
Règle de la chaîne
Dérivée de t ↦ f(x1(t),
..., xp(t)).
Application au calcul des dérivées partielles de :
(
u1, ...,
un)
↦ f(
x1(
u1,
...,
un), ...,
xp(
u1,
...,
un).
En pratique, on se limite à n≤3 et p≤3.
Les étudiants doivent connaître le cas particulier des
coordonnées polaires.
Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.
Gradient
Dans ℝp muni de sa
structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe
𝒞1.
Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation ∇f(a).
Pour h∈ℝp,
relation df(a)⋅h
= ⟨∇f(a),h⟩.
Interprétation géométrique du gradient : si ∇f(a)≠0, il est colinéaire au vecteur unitaire selon
lequel la dérivée de f en a est maximale, et de
même sens.
Fonctions de classe 𝒞2
Dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction définie sur un ouvert
de ℝp à valeurs
dans ℝ.
Notation ∂2f/(∂xi∂xj).
Fonction de classe 𝒞2 sur un ouvert de ℝp.
Théorème de Schwarz.
La démonstration est hors programme.
Matrice hessienne en un point a d’une fonction de
classe 𝒞2 sur un ouvert de ℝp
à valeurs dans ℝ.
Notation Hf(a).
Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 :
f(a+h) =h→0
f(a) + ∇f(a)⊤h + 1/2h⊤Hf(a)h
+ o(∥h∥2).
Expression en termes de produit scalaire.
Extremums d'une fonction de ℝp
dans ℝ
Extremum local, global.
Point critique d’une application de classe 𝒞1.
Si une fonction de classe 𝒞1 sur un ouvert de ℝp atteint un extremum local
en un point a, alors a est un point critique.
Si f est une fonction de classe 𝒞2 sur un
ouvert de ℝp et a
un point critique de f :
- si Hf(a)∈𝓢p++(ℝ), alors f atteint un minimum
local strict en a ;
- si Hf(a)∉𝓢p+(ℝ), alors f n'a pas de minimum a.
Adaptation à l’étude d’un maximum local.
Explicitation pour p=2 (trace et déterminant).
Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie de ℝp.