Programme de colles

PC - colles de mathématiques 2024-2025

colle n°21 - semaine n°13 - dernière colle avant écrits

Révision

Fonctions de plusieurs variables

Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de ℝ² ont été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de p≥2 variables.
L’étude d’une fonction de ℝ^p dans ℝⁿ se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de ℝ^p dans ℝ. Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas p=2 ou p=3.

Fonctions de classe 𝒞¹

Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation D_vf(a).

Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie sur un ouvert Ω de ℝ^p à valeurs dans ℝ.

Notations ∂f/∂x_i(a). On peut aussi utiliser ∂_if(a).

Une fonction est dite de classe 𝒞¹ sur Ω si ses dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞¹.

Une fonction de classe 𝒞¹ sur Ω admet en tout point a de Ω un développement limité d'ordre 1.

La démonstration n'est pas exigible.

Une fonction de classe 𝒞¹ sur Ω est continue sur Ω.

Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire sur ℝ^p :

df(a) : (h₁, ..., h_n) ↦ ∑_i=1ⁿh_i∂_if(a).

Notation df(a)⋅h.

Règle de la chaîne

Dérivée de t ↦ f(x₁(t), ..., x_p(t)).
Application au calcul des dérivées partielles de :

(u1, ..., u_n) ↦ f(x₁(u1, ..., u_n), ..., x_p(u1, ..., u_n).

En pratique, on se limite à n≤3 et p≤3.

Les étudiants doivent connaître le cas particulier des coordonnées polaires.

Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.

Gradient

Dans ℝ^p muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe 𝒞¹.
Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation ∇f(a).
Pour h∈ℝ^p, relation df(a)⋅h = ⟨∇f(a),h⟩.
Interprétation géométrique du gradient : si ∇f(a)≠0, il est colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de f en a est maximale, et de même sens.

Fonctions de classe 𝒞²

Dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction définie sur un ouvert de ℝ^p à valeurs dans ℝ.
Notation ∂²f/(∂x_i∂x_j).

Fonction de classe 𝒞² sur un ouvert de ℝ^p.

Théorème de Schwarz.
La démonstration est hors programme.

Matrice hessienne en un point a d’une fonction de classe 𝒞² sur un ouvert de ℝ^p à valeurs dans ℝ.
Notation H_f(a).

Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 :

f(a+h) =_h→0 f(a) + ∇f(a)^$⊤$h + 1/2h^$⊤$H_f(a)h + o(∥h∥²).

Expression en termes de produit scalaire.

Extremums d'une fonction de ℝ^p dans ℝ

Extremum local, global.
Point critique d’une application de classe 𝒞¹.

Si une fonction de classe 𝒞¹ sur un ouvert de ℝ^p atteint un extremum local en un point a, alors a est un point critique.

Si f est une fonction de classe 𝒞² sur un ouvert de ℝ^p et a un point critique de f :

si H_f(a)∈𝓢_p⁺⁺(ℝ), alors f atteint un minimum local strict en a ;
si H_f(a)∉𝓢_p⁺(ℝ), alors f n'a pas de minimum a.

Adaptation à l’étude d’un maximum local.
Explicitation pour p=2 (trace et déterminant).

Exemples de recherche d’extremums globaux sur une partie de ℝ^p.