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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°20 - semaine n°12

Révision :

Espaces vectoriels normés

Limite et continuité en un point [reprise]

Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de définition.
Caractérisation séquentielle.

Opérations algébriques sur les limites, composition.

Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.

Continuité sur une partie

Opérations algébriques, composition.

Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue.
Si f est une application continue de E dans alors l’ensemble défini par f(x)>0 est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0 ou f(x)≥0 sont des fermés.

Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue.

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.

Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.

Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.

Exemples du déterminant, du produit matriciel.

Fonctions de plusieurs variables

Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de 2 ont été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de p
≥2 variables.
L’étude d’une fonction de 
p dans n se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de p dans . Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas p=2 ou p=3.

Fonctions de classe 𝒞1

Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation Dvf(a).

Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie sur un ouvert Ω de p à valeurs dans .

Notationsf/∂xi(a). On peut aussi utiliser if(a).

Une fonction est dite de classe 𝒞1 sur Ω si ses dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞1.

Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω admet en tout point a de Ω un développement limité d'ordre 1.

La démonstration n'est pas exigible.

Une fonction de classe
𝒞1 sur Ω est continue sur Ω.

Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire
sur p :

df(a) : (h1, ..., hn) i=1nhiif(a).

Notation df(a)h.

Règle de la chaîne

Dérivée de tf(x1(t), ..., xp(t)).
Application au calcul des dérivées partielles de :
(u1, ..., un f(x1(u1, ..., un), ..., xp(u1, ..., un).
En pratique, on se limite à n3 et p3.

Les étudiants doivent connaître le cas particulier des coordonnées polaires.

Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.

Gradient

Dans p muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d'une fonction de classe 𝒞1.
Le gradient est défini par ses coordonnées. Notation
f(a).
Pour hp, relation df(a)h = ⟨∇f(a),h⟩.
Interprétation géométrique du gradient : si ∇f(a)0, il est colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de f en a est maximale, et de même sens.

À suivre (semaines prochaines) :