Révision :
Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de
définition.
Caractérisation séquentielle.
Opérations algébriques sur les limites, composition.
Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.
Opérations algébriques, composition.
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application
continue.
Si f est une application continue de E dans ℝ alors l’ensemble défini par f(x)>0
est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0
ou f(x)≥0 sont des
fermés.
Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est
continue.
Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une
fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension
finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une
base.
Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée
bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée
et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.
Continuité des applications linéaires, multilinéaires et
polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.
Exemples du déterminant, du produit matriciel.
Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur
un ouvert de ℝ2 ont
été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser
cette étude aux fonctions de p≥2 variables.
L’étude d’une fonction de ℝp
dans ℝn se
ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à
l’étude des fonctions de ℝp
dans ℝ. Elle est axée sur
la mise en place d’outils permettant de traiter des applications
du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite
en pratique au cas p=2 ou p=3.
Dérivée en un point selon un vecteur.
Notation Dvf(a).
Dérivées partielles d'ordre 1 en un point d'une fonction définie
sur un ouvert Ω de ℝp
à valeurs dans ℝ.
Notations ∂f/∂xi(a). On peut aussi utiliser ∂if(a).
Une fonction est dite de classe 𝒞1 sur Ω si ses
dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues sur Ω.
Opérations sur les fonctions de classe 𝒞1.
Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω admet en tout point a de Ω un développement limité d'ordre 1.
La démonstration n'est pas exigible.
Une fonction de classe 𝒞1 sur Ω
est continue sur Ω.
Différentielle de f en a.
Elle est définie comme la forme linéaire sur ℝp :
df(a) : (h1, ..., hn) ↦ ∑i=1nhi∂if(a).
Notation df(a)⋅h.