Espaces vectoriels normés

Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé

Convergence et divergence d’une suite.
Exemples dans des espaces de matrices, dans des espaces de fonctions.

Unicité de la limite. Opérations sur les limites.

Une suite convergente est bornée.

Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente.

Topologie d’un espace vectoriel normé

Point intérieur à une partie.
Ouvert d’un espace normé.
Une boule ouverte est un ouvert.
Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie.

Fermé d’un espace normé.
Caractérisation séquentielle.
Une boule fermée, une sphère, sont des fermés.
Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque.

Point adhérent à une partie, adhérence.
L’adhérence est l’ensemble des points adhérents.
Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de l’adhérence est hors programme.

Partie dense.

Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente.

Limite et continuité en un point

Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de définition.
Caractérisation séquentielle.

Opérations algébriques sur les limites, composition.

Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.

Continuité sur une partie

Opérations algébriques, composition.

Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue.
Si f est une application continue de E dans ℝ alors l’ensemble défini par f(x)>0 est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0 ou f(x)≥0 sont des fermés.

Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue.

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.

Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.

Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.

Exemples du déterminant, du produit matriciel.