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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°19 - semaine n°11

Révision :

Espaces vectoriels normés 

Normes [reprise]

Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Espace vectoriel normé.
Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel.
Normes usuelles ||  ||1, ||  ||2 et ||  || sur n.
Norme ||  || sur un espace de fonctions bornées à valeurs dans 𝕂.
L’égalité
sup(kA) = ksup(A) pour A partie non vide de et k+ peut être directement utilisée.

Distance associée à une norme.

Boules ouvertes, boules fermées, sphères.

Parties convexes.
Convexité des boules.

Parties bornées, suites bornées, fonctions bornées.

Comparaison de normes

Normes équivalentes.
Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite.
Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.

La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du programme. On se limite en pratique à des exemples élémentaires.

Topologie d’un espace vectoriel normé

Point intérieur à une partie.
Ouvert d’un espace normé.
Une boule ouverte est un ouvert.
Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie.

Fermé d’un espace normé.
Caractérisation séquentielle.
Une boule fermée, une sphère, sont des fermés.
Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque.

Point adhérent à une partie, adhérence.
L’adhérence est l’ensemble des points adhérents.
Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de l’adhérence est hors programme.

Partie dense.

Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente.

Limite et continuité en un point

Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de définition.
Caractérisation séquentielle.

Opérations algébriques sur les limites, composition.

Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.

Continuité sur une partie

Opérations algébriques, composition.

Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue.
Si f est une application continue de E dans alors l’ensemble défini par f(x)>0 est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0 ou f(x)≥0 sont des fermés.

Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue.

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.

Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.

Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.

Exemples du déterminant, du produit matriciel.

À suivre (semaines prochaines) :