Endomorphismes des espaces euclidiens

Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles [reprise]

Endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien.
Notation 𝓢(E).
Caractérisation des projecteurs orthogonaux.

Caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «endomorphisme symétrique», tout en lui préférant celle d’«endomorphisme autoadjoint».

Théorème spectral :
tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres.
La démonstration n’est pas exigible.
Forme matricielle du théorème spectral.

Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢⁺(E), 𝓢⁺⁺(E).

Matrice symétrique positive, définie positive.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢_n⁺(ℝ), 𝓢_n⁺⁺(ℝ).

Espaces vectoriels normés

Normes

Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe. 
Espace vectoriel normé.
Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel.
Normes usuelles ||  ||₁, ||  ||₂ et ||  ||_∞ sur ℝⁿ.
Norme ||  ||_∞ sur un espace de fonctions bornées à valeurs dans 𝕂.
L’égalité sup(kA) = ksup(A) pour A partie non vide de ℝ et k∈ℝ₊ peut être directement utilisée.

Distance associée à une norme.

Boules ouvertes, boules fermées, sphères.

Parties convexes.
Convexité des boules.

Parties bornées, suites bornées, fonctions bornées.

Comparaison de normes

Normes équivalentes.
Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite.
Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.

La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du programme. On se limite en pratique à des
exemples élémentaires.