Révision :
Normes équivalentes.
Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite.
Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas
équivalentes.
La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du
programme. On se limite en pratique à des exemples élémentaires.
Point intérieur à une partie.
Ouvert d’un espace normé.
Une boule ouverte est un ouvert.
Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie.
Fermé d’un espace normé.
Caractérisation séquentielle.
Une boule fermée, une sphère, sont des fermés.
Stabilité par réunion finie, par intersection quelconque.
Point adhérent à une partie, adhérence.
L’adhérence est l’ensemble des points adhérents.
Caractérisation séquentielle. Toute autre propriété de
l’adhérence est hors programme.
Partie dense.
Invariance des notions topologiques par passage à une norme
équivalente.
Limite d’une fonction en un point adhérent à son domaine de
définition.
Caractérisation séquentielle.
Opérations algébriques sur les limites, composition.
Continuité en un point.
Caractérisation séquentielle.
Opérations algébriques, composition.
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application
continue.
Si f est une application continue de E dans ℝ alors l’ensemble défini par f(x)>0
est un ouvert et les ensembles définis par f(x)=0
ou f(x)≥0 sont des
fermés.
Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est
continue.
Équivalence des normes en dimension finie.
La démonstration est hors programme.
La convergence d’une suite (ou l’existence de la limite d’une
fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension
finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une
base.
Théorème des bornes atteintes :
toute fonction réelle continue sur une partie non vide fermée
bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie est bornée
et atteint ses bornes.
La démonstration est hors programme.
Continuité des applications linéaires, multilinéaires et
polynomiales.
La notion de norme subordonnée est hors programme.
Exemples du déterminant, du produit matriciel.