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PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°18 - semaine n°8
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Révision :
Endomorphismes des espaces euclidiens
Réduction des endomorphismes autoadjoints et
des matrices symétriques réelles [reprise]
Endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien.
Notation 𝓢(E).
Caractérisation des projecteurs orthogonaux.
Caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint à
l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «endomorphisme symétrique», tout en
lui préférant celle d’«endomorphisme autoadjoint».
Théorème spectral :
Tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une
base orthonormée de vecteurs propres.
La démonstration n’est pas exigible.
Forme matricielle du théorème spectral.
Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢+(E),
𝓢++(E).
Matrice symétrique positive, définie positive.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢n+(ℝ), 𝓢n++(ℝ).
Espaces vectoriels normés
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur 𝕂 = ℝ
ou ℂ certaines notions
(convergence de suites, limite et continuité de fonctions)
étudiées en première année dans le cadre de l’analyse
réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de
matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul
différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites
et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et
variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts
topologiques à l’aide de nombreuses figures.
Normes
Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Espace vectoriel normé.
Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien
réel.
Normes usuelles || ||
1, ||
||
2 et || ||
∞ sur ℝn.
Norme || ||
∞ sur un espace de
fonctions bornées à valeurs dans 𝕂.
L’égalité sup(
kA)
= ksup(
A)
pour A partie non vide de ℝ et
k∈
ℝ+ peut être
directement utilisée.
Distance associée à une norme.
Boules ouvertes, boules fermées, sphères.
Parties convexes.
Convexité des boules.
Parties bornées, suites bornées, fonctions bornées.
Comparaison de normes
Normes équivalentes.
Invariance du caractère borné, de la convergence d’une suite.
Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas
équivalentes.
La comparaison effective de deux normes n’est pas un objectif du
programme. On se limite en pratique à des exemples élémentaires.
À suivre (semaines prochaines) :
- Espaces vectoriels normés suite et fin ;
- Calcul différentiel.