Intégration sur un intervalle quelconque [reprise]

Théorème de convergence dominée :
si une suite (f_n) de fonctions continues par morceaux sur I converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I  et s'il existe une fonction φ intégrable sur I vérifiant |f_n| ≤ φ pour tout n, alors les fonctions f_n et f sont intégrables sur I et :


La démonstration est hors programme.

Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑f_n de fonctions intégrables sur I converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur I, et si la série ∑∫_I|f_n(t)|dt converge, alors ∑_n=0^∞f_n est intégrable sur I et :


La démonstration est hors-programme.

On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.

Intégrales "à paramètre"

Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de
domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t .

Théorème de continuité :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :

• Pour tout t∈I , x ↦ f(x,t) est continue sur A ;
• Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est continue par morceaux sur I ;
• Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;

alors la fonction x ↦ ∫_If(x,t)dt est définie et continue sur A.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de convergence dominée à paramètre continu :
si A et I sont deux intervalles de ℝ, a une borne de A et f une fonction définie sur A×I telle que :

• pour tout t∈I , f(x,t) →_x→a  ℓ(t) ;
• pour tout x∈A, t  ↦ f(x,t) et t ↦ ℓ(t) sont continues par morceaux sur I ;
• il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;

alors ℓ est intégrable sur I et :


On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.

Théorème de dérivation :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :

• Pour tout t∈J , x ↦ f(x,t) est de classe 𝒞¹ sur A ;
• Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est intégrable sur I ;
• Pour tout x∈A, t ↦ ∂f/∂x(x,t) est continue par morceaux sur I ;
• Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait

  | |

  ∂f ∂x

  (x,t)

  | |

  ≤ φ(t) ;

alors la fonction g : x ↦ ∫_If(x,t)dt est de classe 𝒞¹ sur A et vérifie :

∀x∈A, g'(x) =

⌠ ⌡

I

∂f ∂x

(x,t) dt

La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe 𝒞^k d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de t ↦ ∂^kf/∂x^k(x,t) et d’intégrabilité des t ↦ ∂^jf/∂x^j(x,t) pour 0  ≤ j < k.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une équation différentielle élémentaire. L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.