Révision :
Cette section vise les objectifs suivants :
Pour les applications courantes en dimension trois, on peut
au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et connu
des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques
notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.
Une matrice A de 𝓜n(ℝ) est orthogonale si
A⊤ A = In.
Interprétation en termes de colonnes et de lignes.
Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée.
Caractérisation d’une isométrie vectorielle à l’aide
de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «automorphisme orthogonal», tout en
lui préférant celle d’«isométrie vectorielle».
Groupe orthogonal.
Notations 𝓞n(ℝ),
𝓞(n).
Déterminant d’une matrice orthogonale. Groupe spécial
orthogonal.
Notations 𝓢𝓞n(ℝ),
𝓢𝓞(n).
Orientation. Bases orthonormées directes.
Description des matrices de 𝓞2(ℝ), de 𝓢𝓞2(ℝ).
Commutativité de 𝓢𝓞2(ℝ).
Rotation vectorielle d’un plan euclidien orienté.
On introduit à cette occasion, sans soulever de difficulté, la
notion de mesure d’un angle orienté de vecteurs non nuls.
Classification des isométries vectorielles d’un plan euclidien.
Endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien.
Notation 𝓢(E).
Caractérisation des projecteurs orthogonaux.
Caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint à
l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «endomorphisme symétrique», tout en
lui préférant celle d’«endomorphisme autoadjoint».
Théorème spectral :
Tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une
base orthonormée de vecteurs propres.
La démonstration n’est pas exigible.
Forme matricielle du théorème spectral.
Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.
Caractérisation spectrale. Notations 𝓢+(E),
𝓢++(E).