Fonctions génératrices [reprise]
Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans
ℕ :
GX(t)
= E(tX) = ∑n=0+∞P(X
= n)tn.
La série entière
définissant GX est de rayon ≥1 et
converge normalement sur [−1,1]. Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la
fonction génératrice d’une variable aléatoire de
Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.
La loi d’une variable aléatoire
X à valeurs dans ℕ est
caractérisée par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si
et seulement si GX est dérivable en 1 ;
dans ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la
réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X)
et V(X).
Fonction génératrice d’une somme de deux variables
aléatoires indépendantes à valeurs dans
ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables
aléatoires indépendantes.
Inégalités probabilistes
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Loi faible des grands nombres :
si (Xn)n≥1
est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance
finie, alors en notant Sn = ∑k=1nXk
et m = E(X1), pour tout ε
> 0,
P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞
0.
Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(
X1)
:
P(|Sn/n − m| ≥ ε) ≤ σ2/(nε2).
Intégration sur un intervalle quelconque
Théorème de convergence dominée :
si une suite (
fn) de fonctions continues par
morceaux sur
I converge simplement
vers une
fonction
f continue par morceaux sur
I et
s'il existe une fonction φ intégrable sur
I
vérifiant |
fn| ≤ φ pour tout
n,
alors les fonctions
fn et
f sont
intégrables sur
I et :
∫Ifn(t)dt
→ n→∞ ∫If(t)dt.
La démonstration est hors programme.
Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑
fn de fonctions intégrables
sur
I converge simplement, si sa somme est
continue par morceaux sur
I, et si la série ∑∫
I|
fn(
t)|d
t
converge, alors ∑
n=0∞fn
est intégrable sur
I et :
∫I∑n=0∞fndt
= ∑n=0∞∫Ifn(t)dt.
La démonstration est hors-programme.
On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique
pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence
dominée pour les sommes partielles.
