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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°16 - semaine n°6

Révision :

Intégrales "à paramètre" [reprise]

Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t .

Théorème de continuité :
Si A et I sont deux intervalles de et f une fonction définie sur A×I , telle que :
alors la fonction x ↦ ∫If(x,t)dt est définie et continue sur A.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de convergence dominée à paramètre continu :
si A et I sont deux intervalles de , a une borne de A et f une fonction définie sur A×I telle que :
alors  est intégrable sur I et :

If(x,t)dtx→a I(t)dt.

On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.

Théorème de dérivation :
Si A et I sont deux intervalles de et f une fonction définie sur A×I , telle que :
alors la fonction g : x ↦ ∫If(x,t)dt est de classe 𝒞1 sur A et vérifie :
∀x∈A, g'(x) =


I

f

x
(x,t) dt

La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.


Extension à la classe 𝒞k d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de t ↦ ∂kf/∂xk(x,t) et d’intégrabilité des t ↦ ∂jf/∂xj(x,t) pour 0  j < k.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une équation différentielle élémentaire. L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.

Endomorphismes des espaces euclidiens

Cette section vise les objectifs suivants :

Pour les applications courantes en dimension trois, on peut au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et
connu des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.

Isométries vectorielles d’un espace euclidien

Un endomorphisme d’un espace euclidien est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme.
Exemple : symétries orthogonales, cas particulier des réflexions.
Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par l’image d’une base orthonormée.

Groupe orthogonal.
Notation 
𝓞(E).
On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme.

Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable.

Matrices orthogonales

Une matrice A de 𝓜n() est orthogonale si A A = In.
Interprétation en termes de colonnes et de lignes.
Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée.

Caractérisation d’une isométrie vectorielle à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «automorphisme orthogonal», tout en lui préférant celle d’«isométrie vectorielle».

Groupe orthogonal.
Notations
𝓞n(), 𝓞(n).
Déterminant d’une matrice orthogonale. Groupe spécial orthogonal.
Notations 𝓢𝓞n(), 𝓢𝓞(n).

Orientation. Bases orthonormées directes.

N.B. cas du plan : semaine prochaine.

À suivre (semaines prochaines) :