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PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°16 - semaine n°6
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Révision :
- Intégrale généralisée ;
- Bilinéaire de sup (3/2) / de spé (5/2).
Intégrales "à paramètre" [reprise]
Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre
Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on
vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de
domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par
morceaux par rapport à t .
Théorème de continuité :
Si A et I sont deux
intervalles de ℝ et
f une fonction définie sur A×I
, telle que :
- Pour tout t∈I , x ↦ f(x,t)
est continue sur A ;
- Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t)
est continue par morceaux sur I ;
- Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que
pour tout (x,t)∈A×I , on ait
|f(x,t)|≤φ(t) ;
alors la fonction x ↦ ∫If(x,t)dt
est définie et continue sur A.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout
segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Théorème de convergence dominée à paramètre continu :
si A et I sont deux intervalles de ℝ, a une borne de A et f
une fonction définie sur A×I telle que :
- pour tout t∈I , f(x,t)
→x→a ℓ(t) ;
- pour tout x∈A, t ↦ f(x,t)
et t ↦ ℓ(t)
sont continues par morceaux sur I ;
- il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que
pour tout (x,t)∈A×I , on ait
|f(x,t)|≤φ(t) ;
alors ℓ
est intégrable sur I et :
∫If(x,t)dt
→x→a ∫Iℓ(t)dt.
On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème
relatif aux suites de fonctions.
Théorème de dérivation :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie
sur A×I , telle que :
- Pour tout t∈J , x ↦ f(x,t)
est de classe 𝒞1 sur A ;
- Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t)
est intégrable sur I ;
- Pour tout x∈A, t ↦ ∂f/∂x(x,t)
est continue par morceaux sur I ;
- Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que
pour tout (x,t)∈A×I , on ait
|
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∂f
∂x
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(x,t) |
|
|
|
≤
φ(t) ; |
alors la fonction g : x ↦ ∫If(x,t)dt
est de classe 𝒞1 sur A et vérifie :
∀x∈A, g'(x)
= |
⌠
⌡ |
I
|
|
∂f
∂x
|
(x,t) dt |
La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment
de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Extension à la classe 𝒞k d’une
intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de t ↦
∂kf/∂xk(x,t)
et d’intégrabilité des t ↦ ∂jf/∂xj(x,t)
pour 0 ≤ j
< k.
Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à
paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une
équation différentielle élémentaire. L’unicité de la solution d’un
problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.
Endomorphismes des espaces euclidiens
Cette section vise les objectifs suivants :
- consolider les acquis de la classe de première année sur
les espaces préhilbertiens réels ;
- étudier isométries vectorielles et matrices orthogonales,
et les décrire en dimension deux en insistant sur les
représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes
dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et
matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif,
qui trouvera notamment son application au calcul différentiel
d’ordre 2.
Pour les applications courantes en dimension trois, on peut
au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et
connu des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques
notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.
Isométries vectorielles d’un espace euclidien
Un endomorphisme d’un espace euclidien est une isométrie vectorielle
s’il conserve la norme.
Exemple : symétries orthogonales, cas particulier des
réflexions.
Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par
l’image d’une base orthonormée.
Groupe orthogonal.
Notation 𝓞(E).
On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe,
mais la définition axiomatique des groupes est hors programme.
Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable.
Matrices orthogonales
Une matrice A de 𝓜n(ℝ) est orthogonale si
A⊤ A = In.
Interprétation en termes de colonnes et de lignes.
Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée.
Caractérisation d’une isométrie vectorielle à l’aide
de sa matrice dans une base orthonormée.
On mentionne la terminologie «automorphisme orthogonal», tout en
lui préférant celle d’«isométrie vectorielle».
Groupe orthogonal.
Notations 𝓞n(ℝ),
𝓞(n).
Déterminant d’une matrice orthogonale. Groupe spécial
orthogonal.
Notations 𝓢𝓞n(ℝ),
𝓢𝓞(n).
Orientation. Bases orthonormées directes.
N.B. cas du plan : semaine prochaine.
À suivre (semaines prochaines) :
- Bilinéaire suite et fin : endo. et matrices symétriques,
(définis) positifs ;
- Espaces vectoriels normés.