Programme de colles

PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°15 - semaine n°5

Révision :

Variables aléatoires ;
Intégrale généralisée.

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Fonctions génératrices [reprise]

Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans ℕ :

G_X(t) = E(t^X) = ∑_n=0^+∞P(X = n)tⁿ.

La série entière définissant G_X est de rayon ≥1 et converge normalement sur [−1,1]. Continuité de G_X.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.

La loi d’une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ est caractérisée par sa fonction génératrice G_X.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si et seulement si G_X est dérivable en 1 ; dans ce cas E(X) = G'_X(1).

La démonstration de la réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de G_X pour calculer E(X) et V(X).

Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires indépendantes.

Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Loi faible des grands nombres :
si (X_n)_n≥1 est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie, alors en notant S_n = ∑_k=1ⁿX_k et m = E(X₁) , pour tout ε > 0,

P(|S_n/n − m| ≥ ε) →_n→∞ 0.

Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(X₁) :

P(|S_n/n − m| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²).

Intégrales "à paramètre"

Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre [reprise]

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de régularité par rapport à x et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux par rapport à t .

Théorème de continuité :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :

Pour tout t∈I , x ↦ f(x,t) est continue sur A ;
Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est continue par morceaux sur I ;
Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;

alors la fonction x ↦ ∫_If(x,t)dt est définie et continue sur A.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de convergence dominée à paramètre continu :
si A et I sont deux intervalles de ℝ, a une borne de A et f une fonction définie sur A×I telle que :

pour tout t∈I , f(x,t) →_x→a ℓ(t) ;
pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) et t ↦ ℓ(t) sont continues par morceaux sur I ;
il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait |f(x,t)|≤φ(t) ;

alors ℓ est intégrable sur I et :

∫_If(x,t)dt →_x→a ∫_Iℓ(t)dt.

On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.

Théorème de dérivation :
Si A et I sont deux intervalles de ℝ et f une fonction définie sur A×I , telle que :

Pour tout t∈J , x ↦ f(x,t) est de classe 𝒞¹ sur A ;
Pour tout x∈A, t ↦ f(x,t) est intégrable sur I ;
Pour tout x∈A, t ↦ ∂f/∂x(x,t) est continue par morceaux sur I ;

Il existe une fonction φ intégrable sur I, telle que pour tout (x,t)∈A×I , on ait

|
|

∂f

∂x

(x,t)

|
|

≤ φ(t) ;

alors la fonction g : x ↦ ∫_If(x,t)dt est de classe 𝒞¹ sur A et vérifie :

∀x∈A, g'(x) =

⌠
⌡

I

∂f

∂x

(x,t) dt

La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de A, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe 𝒞^k d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de t ↦ ∂^kf/∂x^k(x,t) et d’intégrabilité des t ↦ ∂^jf/∂x^j(x,t) pour 0 ≤ j < k.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une équation différentielle élémentaire. L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera explicitement admise.

À suivre (semaines prochaines) :

Bilinéaire.