La série entière définissant GX
est de rayon ≥1 et converge normalement sur [−1,1].
Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction
génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale,
géométrique, de Poisson.
La loi d’une variable aléatoire X
à valeurs dans ℕ est caractérisée
par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si et
seulement si GX est dérivable en 1 ; dans
ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la
réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X)
et V(X).
Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires
indépendantes à valeurs dans
ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires
indépendantes.
Inégalités probabilistes
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Loi faible des grands nombres :
si (Xn)n≥1 est
une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie,
alors en notant Sn = ∑k=1nXk
et m = E(X1) , pour tout ε >
0,
P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞
0.
Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(