Variance d’une variable aléatoire discrète réelle, écart
type et covariance
Si
X2 est d’espérance finie,
X
est d’espérance finie.
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
si
X2 et
Y2 sont
d’espérance finie, alors
XY l’est aussi et :
E(XY)2 ≤ E(X2)E(Y2).
Cas d’égalité.
Variance, écart type.
Notations V(
X), σ(
X).
Variable réduite.
Relation V(
X) = E(
X2) − E(
X)
2
.
Relation V(
aX+b) =
a2V(
X).
Si σ(
X)
> 0, la variable (
X−E(
X))/
σ(X)
est centrée réduite.
Variance d’une variable géométrique, de Poisson.
[également : d'une variable de Bernoulli et binomiale]
Covariance de deux variables aléatoires.
Relation Cov(
X,
Y) = E(
XY) − E(
X)E(
Y),
cas de deux variables indépendantes.
Variance d’une somme finie, cas de variables deux à deux
indépendantes.
Fonctions génératrices
Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans
ℕ :
GX(t)
= E(tX) = ∑n=0+∞P(X
= n)tn.
La série entière
définissant GX est de rayon ≥1 et
converge normalement sur [−1,1]. Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la
fonction génératrice d’une variable aléatoire de
Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.
La loi d’une variable aléatoire
X à valeurs dans ℕ est
caractérisée par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si
et seulement si GX est dérivable en 1 ;
dans ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la
réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X)
et V(X).
Fonction génératrice d’une somme de deux variables
aléatoires indépendantes à valeurs dans
ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables
aléatoires indépendantes.
Inégalités probabilistes
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Loi faible des grands nombres :
si (Xn)n≥1
est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance
finie, alors en notant Sn = ∑k=1nXk
et m = E(X1), pour tout ε
> 0,
P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞
0.
Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(
X1)
:
P(|Sn/n − m| ≥ ε) ≤ σ2/(nε2).
