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PC - colles de mathématiques
2024-2025
colle n°14 - semaine n°4
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Révision
- séries entières ;
- probabilités discrètes.
Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
Variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète X est une application
définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable
et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x})
est un événement.
L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X =
x}, (X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et
analogues) lorsque X est à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire discrète
Loi PX d’une variable aléatoire discrète.
La probabilité PX est déterminée par la distribution
de probabilités (P(X=x))x∈X(Ω).
On note X ∼ Y lorsque les variables X et Y suivent la même loi,
sans soulever de difficulté sur cette notation.
Variable aléatoire f(X).
Si X ∼ Y alors f(X) ∼ f(Y).
On ne soulève aucune difficulté sur le fait que f(X)
est une variable aléatoire.
[...]
Couple de variables aléatoires discrètes.
Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à
valeurs dans un produit.
Notation P(X=x,Y=y).
Loi conjointe, lois marginales.
Extension aux n-uplets de variables aléatoires.
Loi conditionnelle de Y sachant un événement
A.
Variables aléatoires indépendantes
Deux variables aléatoires discrètes X et Y
définies sur Ω sont indépendantes si, pour tous A⊂X(Ω)
et B⊂Y(Ω), les événements (X∈A)
et (Y∈B) sont indépendants.
Notation X⫫Y.
De façon équivalente, la distribution de probabilités de (X,Y)
est donnée par
P(X=x,Y=y)
= P(X=x)P(Y=y).
Extension au cas de n variables aléatoires.
Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.
On ne soulève aucune difficulté quant à l’existence d’un
espace probabilisé portant une suite i.i.d.
Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de
variables de Bernoulli.
Fonctions de variables indépendantes : si X⫫Y,
alors f(X)⫫g(Y).
Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.
Lemme des coalitions :
si les variables aléatoires X1, ..., Xn
sont indépendantes, alors f(X1, ..., Xm)
et g(Xm+1, ..., Xn)
le sont aussi.
Extension au cas de plus de deux coalitions.
Espérance d’une variable aléatoire discrète réelle ou complexe
Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dans [0, +∞], définie
par
E(X) = ∑x∈X(Ω)xP(X=x).
On adopte la convention xP(X=x)
= 0 lorsque x=+∞ et P(X=+∞) =
0.
Variable aléatoire X à valeurs réelles ou complexes
d’espérance finie, espérance de X.
X est d’espérance finie si la famille (xP(X=x))x∈X(Ω) est
sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance
de X.
Variable centrée.
Pour X variable aléatoire à valeurs dans ℕ∪{+∞}, relation :
E(X) = ∑n=1∞P(X≥n).
[...]
Formule de transfert :
f(X) est d’espérance finie si et seulement si la
famille (f(x)P(X=x))x∈X(Ω) est sommable.
Dans ce cas :
E(f(X)) = ∑x∈X(Ω)f(x)P(X=x).
On remarque que la formule
s’applique aux couples, aux n-uplets de variables aléatoires.
Linéarité de l’espérance.
Si |X| ≤ Y et E(Y)
< +∞, alors X est d’espérance finie.
Positivité, croissance de l’espérance.
Si X est positive et d’espérance nulle, alors (X=0)
est presque sûr.
Pour
X et
Y deux variables aléatoires
indépendantes d’espérance finie, alors
XY est
d’espérance finie et :
E(XY) = E(X)E(Y).
Extension au cas de n variables aléatoires.
À suivre (semaines prochaines) :
- Variables aléatoires ;
- Suites et séries de fn. intégrables (CV dominée).