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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°14 - semaine n°4

Révision :

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Variables aléatoires discrètes [reprise]

Une variable aléatoire discrète X est une application définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x}) est un événement.

L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X = x}, (X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et analogues) lorsque X est à valeurs réelles.

Loi d’une variable aléatoire discrète

Loi PX d’une variable aléatoire discrète.

La probabilité PX est déterminée par la distribution de probabilités (P(X=x))x∈X(Ω).
On note X ∼ Y lorsque les variables X et Y suivent la même loi, sans soulever de difficulté sur cette notation.

Variable aléatoire f(X).
Si X ∼ Y alors f(X) ∼ f(Y).

On ne soulève aucune difficulté sur le fait que f(X) est une variable aléatoire.

Variable géométrique de paramètre p∈]0,1[ :
∀k∈ℕ* , P(X=k) = p(1−p)k−1.

Notation X ∼ 𝒢(p).
Relation P(X>k) = (1−p)k.
Interprétation comme rang du premier succès dans une suite illimitée d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.

Variable de Poisson de paramètre λ > 0 :

∀k∈ℕ , P(X=k) = e−λλk/k!

Notation X ∼ 𝒫(λ).
Interprétation en termes d’événements rares.
Couple de variables aléatoires discrètes.

Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit.
Notation P(X=x,Y=y).

Loi conjointe, lois marginales.
Extension aux n-uplets de variables aléatoires.

Loi conditionnelle de Y sachant un événement A.

Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur Ω sont indépendantes si, pour tous A⊂X(Ω) et  B⊂Y(Ω), les événements (X∈A) et (Y∈B) sont indépendants.

Notation X⫫Y.
De façon équivalente, la distribution de probabilités de (X,Y) est donnée par

P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y).

Extension au cas de n variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.
On ne soulève aucune difficulté quant à l’existence d’un espace probabilisé portant une suite i.i.d.
Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de variables de Bernoulli.

Fonctions de variables indépendantes : si X⫫Y, alors f(X)⫫g(Y).
Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.

Lemme des coalitions :
si les variables aléatoires X1, ..., Xn sont indépendantes, alors f(X1, ..., Xm) et g(Xm+1, ..., Xn) le sont aussi.

Extension au cas de plus de deux coalitions.

Espérance d’une variable aléatoire discrète réelle ou complexe

Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dans [0, +∞], définie par

E(X) = ∑x∈X(Ω)xP(X=x).

On adopte la convention xP(X=x) = 0 lorsque x=+∞ et P(X=+∞) = 0.

Variable aléatoire X à valeurs réelles ou complexes d’espérance finie, espérance de X.

X est d’espérance finie si la famille (xP(X=x))x∈X(Ω) est sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance de X.
Variable centrée.

Pour X variable aléatoire à valeurs dans ℕ∪{+∞}, relation :

E(X) = ∑n=1∞P(X≥n).

Espérance d’une variable géométrique, de Poisson.

Formule de transfert :
f(X) est d’espérance finie si et seulement si la famille (f(x)P(X=x))x∈X(Ω) est sommable. Dans ce cas :

E(f(X)) = ∑x∈X(Ω)f(x)P(X=x).

On remarque que la formule s’applique aux couples, aux n-uplets de variables aléatoires.

Linéarité de l’espérance.
Si |X| ≤ Y et E(Y) < +∞, alors X est d’espérance finie.
Positivité, croissance de l’espérance.
Si X est positive et d’espérance nulle, alors (X=0) est presque sûr.

Pour X et Y deux variables aléatoires indépendantes d’espérance finie, alors XY est d’espérance finie et :

E(XY) = E(X)E(Y).

Extension au cas de n variables aléatoires.

Variance d’une variable aléatoire discrète réelle, écart type et covariance

Si X2 est d’espérance finie, X est d’espérance finie.
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
si X2 et Y2 sont d’espérance finie, alors XY l’est aussi et :

E(XY)2 ≤ E(X2)E(Y2).

Cas d’égalité.

Variance, écart type.
Notations V(X), σ(X).
Variable réduite.

Relation V(X) = E(X2) − E(X)2 .
Relation V(aX+b) = a2V(X).

Si σ(X) > 0, la variable (X−E(X))/σ(X) est centrée réduite.

Variance d’une variable géométrique, de Poisson.

Covariance de deux variables aléatoires.
Relation Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y), cas de deux variables indépendantes.
Variance d’une somme finie, cas de variables deux à deux indépendantes.

Fonctions génératrices

Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans ℕ :

GX(t) = E(tX) = ∑n=0+∞P(X = n)tn.
La série entière définissant GX est de rayon ≥1 et converge normalement sur [−1,1]. Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.

La loi d’une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ est caractérisée par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si et seulement si GX est dérivable en 1 ; dans ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X) et V(X).

Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires indépendantes.

Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Loi faible des grands nombres :
si  (Xn)n≥1 est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie, alors en notant  Sn = ∑k=1nXk et m = E(X1) , pour tout ε > 0,

P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞ 0.

Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(X1) :

P(|Sn/n − m| ≥ ε) ≤ σ2/(nε2).

À suivre (semaines prochaines) :