|
PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°14 - semaine n°4
|
Révision :
- Probabilités classiques ;
- Séries entières.
Variables aléatoires discrètes et lois
usuelles
Variables aléatoires discrètes [reprise]
Une variable aléatoire discrète X est une application
définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable
et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x})
est un événement.
L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X =
x}, (X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et
analogues) lorsque X est à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire discrète
Loi PX d’une variable aléatoire discrète.
La probabilité PX est déterminée par la distribution
de probabilités (P(X=x))x∈X(Ω).
On note X ∼ Y lorsque les variables X et Y suivent la même loi,
sans soulever de difficulté sur cette notation.
Variable aléatoire f(X).
Si X ∼ Y alors f(X) ∼ f(Y).
On ne soulève aucune difficulté sur le fait que f(X)
est une variable aléatoire.
Variable géométrique
de paramètre p∈]0,1[ :
∀k∈ℕ* , P(X=k)
= p(1−p)k−1.
Notation X
∼ 𝒢(p).
Relation P(X>k) = (1−p)k.
Interprétation comme rang du premier succès dans une suite
illimitée d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même
paramètre p.
Variable de Poisson de
paramètre λ > 0 :
∀k∈ℕ , P(X=k)
= e−λλk/k!
Notation X
∼ 𝒫(λ).
Interprétation en termes d’événements rares.
Couple de variables aléatoires discrètes.
Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à
valeurs dans un produit.
Notation P(X=x,Y=y).
Loi conjointe, lois marginales.
Extension aux n-uplets de variables aléatoires.
Loi conditionnelle de Y sachant un événement
A.
Variables aléatoires indépendantes
Deux variables aléatoires discrètes X et Y
définies sur Ω sont indépendantes si, pour tous A⊂X(Ω)
et B⊂Y(Ω), les événements (X∈A)
et (Y∈B) sont indépendants.
Notation X⫫Y.
De façon équivalente, la distribution de probabilités de (X,Y)
est donnée par
P(X=x,Y=y)
= P(X=x)P(Y=y).
Extension au cas de n variables aléatoires.
Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.
On ne soulève aucune difficulté quant à l’existence d’un
espace probabilisé portant une suite i.i.d.
Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de
variables de Bernoulli.
Fonctions de variables indépendantes : si X⫫Y,
alors f(X)⫫g(Y).
Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.
Lemme des coalitions :
si les variables aléatoires X1, ..., Xn
sont indépendantes, alors f(X1, ..., Xm)
et g(Xm+1, ..., Xn)
le sont aussi.
Extension au cas de plus de deux coalitions.
Espérance d’une variable aléatoire discrète réelle ou complexe
Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dans [0, +∞], définie
par
E(X) = ∑x∈X(Ω)xP(X=x).
On adopte la convention xP(X=x)
= 0 lorsque x=+∞ et P(X=+∞) =
0.
Variable aléatoire X à valeurs réelles ou complexes
d’espérance finie, espérance de X.
X est d’espérance finie si la famille (xP(X=x))x∈X(Ω) est
sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance
de X.
Variable centrée.
Pour X variable aléatoire à valeurs dans ℕ∪{+∞}, relation :
E(X) = ∑n=1∞P(X≥n).
Espérance d’une variable géométrique, de Poisson.
Formule de transfert :
f(X) est d’espérance finie si et seulement si la
famille (f(x)P(X=x))x∈X(Ω) est sommable.
Dans ce cas :
E(f(X)) = ∑x∈X(Ω)f(x)P(X=x).
On remarque que la formule
s’applique aux couples, aux n-uplets de variables aléatoires.
Linéarité de l’espérance.
Si |X| ≤ Y et E(Y)
< +∞, alors X est d’espérance finie.
Positivité, croissance de l’espérance.
Si X est positive et d’espérance nulle, alors (X=0)
est presque sûr.
Pour
X et
Y deux variables aléatoires
indépendantes d’espérance finie, alors
XY est
d’espérance finie et :
E(XY) = E(X)E(Y).
Extension au cas de n variables aléatoires.
Variance d’une variable aléatoire discrète réelle, écart type et
covariance
Si X2 est d’espérance finie, X est
d’espérance finie.
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
si X2 et Y2 sont
d’espérance finie, alors XY l’est aussi et :
E(XY)2 ≤ E(X2)E(Y2).
Cas d’égalité.
Variance, écart type.
Notations V(X), σ(X).
Variable réduite.
Relation V(X) = E(X2) − E(X)2
.
Relation V(aX+b) = a2V(X).
Si σ(X) > 0, la variable (X−E(X))/σ(X)
est centrée réduite.
Variance d’une variable géométrique, de Poisson.
Covariance de deux variables aléatoires.
Relation Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y),
cas de deux variables indépendantes.
Variance d’une somme finie, cas de variables deux à deux
indépendantes.
Fonctions génératrices
Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans ℕ :
GX(t)
= E(tX) = ∑n=0+∞P(X
= n)tn.
La série entière définissant GX
est de rayon ≥1 et converge normalement sur [−1,1].
Continuité de GX.
Les étudiants doivent savoir calculer rapidement la fonction
génératrice d’une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale,
géométrique, de Poisson.
La loi d’une variable aléatoire X
à valeurs dans ℕ est caractérisée
par sa fonction génératrice GX.
La variable aléatoire X est d’espérance finie si et
seulement si GX est dérivable en 1 ; dans
ce cas E(X) = G'X(1).
La démonstration de la
réciproque n’est pas exigible.
Utilisation de GX pour calculer E(X)
et V(X).
Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires
indépendantes à valeurs dans
ℕ.
Extension au cas d’une somme finie de variables aléatoires
indépendantes.
Inégalités probabilistes
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Loi faible des grands nombres :
si (Xn)n≥1 est
une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie,
alors en notant Sn = ∑k=1nXk
et m = E(X1) , pour tout ε >
0,
P(|Sn/n − m| ≥ ε) →n→∞
0.
Les étudiants doivent savoir retrouver, avec σ = σ(X1)
:
P(|Sn/n − m| ≥ ε) ≤ σ2/(nε2).
À suivre (semaines prochaines) :
- Intégrales "à paramètre" ;
- Bilinéaire.