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PC - colles de mathématiques
2024-2025
colle n°13 - semaine n°3/2025
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Révision
- suites et séries de fonctions ;
- probabilités discrètes.
Séries entières
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et mettre en
évidence la notion de rayon de convergence ;
- étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la
continuité dans le cas d’une variable complexe ;
- établir les développements en série entière des fonctions
usuelles.
Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la
notion de fonction génératrice en probabilités.
Rayon de convergence
Série entière de la variable réelle, de la variable complexe.
Lemme d'Abel :
si la suite (anz0n)
est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que |z|
< |z0|, la série ∑anzn
est absolument convergente.
Rayon de convergence R défini comme borne supérieure dans
[0,+∞] de l'ensemble des réels positifs r
tels que la suite (anrn) est
bornée.
La série ∑anzn converge
absolument si |z| < R,
et elle diverge grossièrement si |z| > R.
Intervalle ouvert de convergence, disque ouvert de convergence,
Avec Ra (resp. Rb) le
rayon de convergence de ∑anzn
(resp. ∑bnzn),
- si an = O(bn)
, alors Ra ≥ Rb ;
- si |an| ∼ |bn| ,
alors Ra = Rb.
Pour α∈ℝ,
R(∑nαxn) = 1.
Le résultat s’applique en particulier lorsque an = o(bn).
Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au
calcul du rayon.
La limite du rapport |an+1|/|an|
peut être directement utilisée.
Calcul du rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy
de deux séries entières.
Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle
Convergence normale d’une série entière d’une variable réelle sur
tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.
Continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence.
L’étude des propriétés de la somme au bord de l’intervalle ou du
disque de convergence n’est pas un objectif du programme.
Primitivation d’une série entière d’une variable réelle sur
l’intervalle ouvert de convergence.
Relation R(∑anxn )
= R(∑nanxn).
Caractère 𝒞∞ de la somme d’une série entière d’une
variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence et obtention
des dérivées par dérivation terme à terme.
Expression des coefficients d’une série entière au moyen des
dérivées successives en 0 de sa somme.
Développement en série entière au voisinage de 0 d'une fonction
de la variable réelle
Fonction développable en série entière sur un intervalle ]−r,r[.
Série de Taylor d'une fonction de classe 𝒞∞.
Unicité du développement en série entière.
Formule de Taylor avec le reste intégral.
Développements des fonctions usuelles.
Les étudiants doivent connaître les développements en série
entière des fonctions exponentielle, cosinus, sinus, cosinus et
sinus hyperboliques, Arctan, x ↦ ln (1+x)
et x ↦ (1+x)α.
Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série
entière à l’aide d’une équation différentielle linéaire.
L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera
explicitement admise.
Séries géométrique et exponentielle de la variable complexe
Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe
sur le disque ouvert de convergence.
La démonstration est hors programme.
Développement de 1/(1−z) sur le
disque unité ouvert.
Développement de exp(z) sur ℂ.
À suivre (semaines prochaines) :
- Variables aléatoires ;
- Suites et séries de fn. intégrables (CV dominée).