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PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°13 - semaine n°3/2024
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Révision :
- Probabilités classiques ;
- Séries entières.
Séries entières [reprise]
Développement en série entière au voisinage de 0 d'une fonction
de la variable réelle
Fonction développable en série entière sur un intervalle ]−r,r[.
Série de Taylor d'une fonction de classe 𝒞∞.
Unicité du développement en série entière.
Formule de Taylor avec le reste intégral.
Développements des fonctions usuelles.
Les étudiants doivent connaître les développements en série
entière des fonctions exponentielle, cosinus, sinus, cosinus et
sinus hyperboliques, Arctan, x ↦ ln (1+x)
et x ↦ (1+x)α.
Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série
entière à l’aide d’une équation différentielle linéaire.
L’unicité de la solution d’un problème de Cauchy adapté sera
explicitement admise.
Séries géométrique et exponentielle de la variable complexe
Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe
sur le disque ouvert de convergence.
La démonstration est hors programme.
Développement de 1/(1−z) sur le
disque unité ouvert.
Développement de exp(z) sur ℂ.
Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
Variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète X est une application
définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable
et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x})
est un événement.
L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X =
x}, (X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et
analogues) lorsque X est à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire discrète
Loi PX d’une variable aléatoire discrète.
La probabilité PX est déterminée par la distribution
de probabilités (P(X=x))x∈X(Ω).
On note X ∼ Y lorsque les variables X et Y suivent la même loi,
sans soulever de difficulté sur cette notation.
Variable aléatoire f(X).
Si X ∼ Y alors f(X) ∼ f(Y).
On ne soulève aucune difficulté sur le fait que f(X)
est une variable aléatoire.
N.B. Lois usuelles : fin du chapitre
Couple de variables aléatoires discrètes.
Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à
valeurs dans un produit.
Notation P(X=x,Y=y).
Loi conjointe, lois marginales.
Extension aux n-uplets de variables aléatoires.
Loi conditionnelle de Y sachant un événement
A.
Variables aléatoires indépendantes
Deux variables aléatoires discrètes X et Y
définies sur Ω sont indépendantes si, pour tous A⊂X(Ω)
et B⊂Y(Ω), les événements (X∈A)
et (Y∈B) sont indépendants.
Notation X⫫Y.
De façon équivalente, la distribution de probabilités de (X,Y)
est donnée par
P(X=x,Y=y)
= P(X=x)P(Y=y).
Extension au cas de n variables aléatoires.
Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d.
On ne soulève aucune difficulté quant à l’existence d’un
espace probabilisé portant une suite i.i.d.
Modélisation du jeu de pile ou face infini : suite i.i.d. de
variables de Bernoulli.
Fonctions de variables indépendantes : si X⫫Y,
alors f(X)⫫g(Y).
Extension au cas de plus de deux variables aléatoires.
Lemme des coalitions :
si les variables aléatoires X1, ..., Xn
sont indépendantes, alors f(X1, ..., Xm)
et g(Xm+1, ..., Xn)
le sont aussi.
Extension au cas de plus de deux coalitions.
À suivre (semaines prochaines) :
- Variables aléatoires discrètes ;
- Intégrales "à paramètre".