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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°12 - semaine n°51


Révision :

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées [reprise]

Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.

L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s’il admet ∏λSp(u)(X−λ) pour polynôme annulateur.

Trigonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des valeurs propres.

Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Toute matrice de 𝓜n() est trigonalisable.

La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication.

Séries entières

Les objectifs de cette section sont les suivants :

Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la notion de fonction génératrice en probabilités.

Rayon de convergence

Série entière de la variable réelle, de la variable complexe.

Lemme d'Abel :
si la suite (anz0n) est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < |z0|, la série ∑anzn est absolument convergente.

Rayon de convergence R défini comme borne supérieure dans [0,+∞] de l'ensemble des réels positifs r tels que la suite (anrn) est bornée.
La sérieanzn converge absolument si |z| < R, et elle diverge grossièrement si |z| > R.
Intervalle ouvert de convergence, disque ouvert de convergence,

Avec Ra (resp. Rb) le rayon de convergence de ∑anzn (resp. ∑bnzn),
Pour α, R(∑nαxn) = 1.
Le résultat s’applique en particulier lorsque an = o(bn).

Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au calcul du rayon.
La limite du rapport |an+1|/|an| peut être directement utilisée.

Calcul du rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières.

Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle

Convergence normale d’une série entière d’une variable réelle sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.
Continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence.

L’étude des propriétés de la somme au bord de l’intervalle ou du disque de convergence n’est pas un objectif du programme.


Primitivation d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence.
Relation R(∑anxn ) = R(∑nanxn).

Caractère 𝒞 de la somme d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence et obtention des dérivées par dérivation terme à terme.

Expression des coefficients d’une série entière au moyen des dérivées successives en 0 de sa somme.

N.B. : DSE, exponentielle complexe : semaine prochaine.

À suivre (semaines prochaines) :