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PC - colles de mathématiques 2024-2025colle n°12 - semaine n°51 |
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit
diagonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est
diagonale.
Une telle base est constituée de vecteurs propres.
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est
semblable à une matrice diagonale.
Interprétation en termes d’endomorphisme.
Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable.
Dans la pratique des cas numériques, on se limite à n=2 ou
n=3.
Un endomorphisme d’un espace vectoriel E est
diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces
propres est égale à E.
Exemple des projecteurs et des symétries.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la
somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la
dimension de l’espace.
Traduction matricielle.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si
son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂
et si, pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace
propre associé est égale à sa multiplicité.
Traduction matricielle.
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n
admettant n valeurs propres distinctes est
diagonalisable.
Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
Traduction matricielle.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un
polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.
L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.
Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s’il admet ∏λ∈Sp(u)(X−λ) pour polynôme annulateur.
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit
trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est
triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme
trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des
valeurs propres.
Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est
semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si
son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Toute matrice de 𝓜n(ℂ) est trigonalisable.
La technique générale de trigonalisation est hors programme.
On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite
dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit
comporter une indication.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la notion de fonction génératrice en probabilités.
