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PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°12 - semaine n°51
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Révision :
- Suites et séries de fonctions ;
- Probabilités classiques.
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées [reprise]
Diagonalisabilité et polynômes annulateurs
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un
polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.
L’endomorphisme induit par un endomorphisme
diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est
diagonalisable.
Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement
s’il admet ∏λ∈Sp(u)(X−λ)
pour polynôme annulateur.
Trigonalisation en dimension finie
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit
trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est
triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme
trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des
valeurs propres.
Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est
semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si
son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Toute matrice de 𝓜n(ℂ) est trigonalisable.
La technique générale de trigonalisation est hors programme.
On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite
dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit
comporter une indication.
Séries entières
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et mettre en
évidence la notion de rayon de convergence ;
- étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la
continuité dans le cas d’une variable complexe ;
- établir les développements en série entière des fonctions
usuelles.
Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la
notion de fonction génératrice en probabilités.
Rayon de convergence
Série entière de la variable réelle, de la variable complexe.
Lemme d'Abel :
si la suite (anz0n)
est bornée, alors pour tout nombre complexe z tel que |z|
< |z0|, la série ∑anzn
est absolument convergente.
Rayon de convergence R défini comme borne supérieure dans
[0,+∞] de l'ensemble des réels positifs r
tels que la suite (anrn) est
bornée.
La série ∑anzn converge
absolument si |z| < R, et elle
diverge grossièrement si |z| > R.
Intervalle ouvert de convergence, disque ouvert de convergence,
Avec Ra (resp. Rb) le
rayon de convergence de ∑anzn
(resp. ∑bnzn),
- si an = O(bn)
, alors Ra ≥ Rb ;
- si |an| ∼ |bn| ,
alors Ra = Rb.
Pour α∈ℝ,
R(∑nαxn) = 1.
Le résultat s’applique en particulier lorsque an = o(bn).
Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au
calcul du rayon.
La limite du rapport |an+1|/|an|
peut être directement utilisée.
Calcul du rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy
de deux séries entières.
Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle
Convergence normale d’une série entière d’une variable réelle sur
tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.
Continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence.
L’étude des propriétés de la somme au bord de l’intervalle ou du
disque de convergence n’est pas un objectif du programme.
Primitivation d’une série entière d’une variable réelle sur
l’intervalle ouvert de convergence.
Relation R(∑anxn )
= R(∑nanxn).
Caractère 𝒞∞ de la somme d’une série entière d’une
variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence et obtention
des dérivées par dérivation terme à terme.
Expression des coefficients d’une série entière au moyen des
dérivées successives en 0 de sa somme.
N.B. : DSE, exponentielle complexe : semaine prochaine.
À suivre (semaines prochaines) :
- Séries entières suite et fin ;
- Variables aléatoires discrètes.