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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°11 - semaine n°50


Révision :

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées [reprise]

La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année.
Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :

L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.

Éléments propres

Droite stable par un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme.
Équation aux éléments propres u(x) = λx.
Si u et v commutent, les sous-espaces propres de u sont stables par v.

Spectre d’un endomorphisme en dimension finie.
Notation Sp(u).
La notion de valeur spectrale est hors programme.

La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe.
Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

Si un polynôme P annule u, toute valeur propre de u est racine de P.
Si u
(x) = λx, alors P(u)(x) = P(λ)x.

Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée.
Équation aux éléments propres AX = λX.

Polynôme caractéristique

Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
Par convention le polynôme caractéristique est unitaire.
Notations χA , χu.
Coefficients de degrés
0 et n−1.

Les valeurs propres d’un endomorphisme de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.
Spectre complexe d’une matrice carrée réelle.

Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.

Théorème de Cayley-Hamilton.
La démonstration n’est pas exigible.

Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.

L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s’il admet ∏λSp(u)(X−λ) pour polynôme annulateur.

Trigonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des valeurs propres.

Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Toute matrice de 𝓜n() est trigonalisable.

La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication.

À suivre (semaines prochaines) :