Révision

• probabilités ;
• algèbre linéaire.
  

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année.
Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :

• l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
• l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).

L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.

Éléments propres

Droite stable par un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme.
Équation aux éléments propres u(x) = λx.
Si u et v commutent, les sous-espaces propres de u sont stables par v.

Spectre d’un endomorphisme en dimension finie.
Notation Sp(u).
La notion de valeur spectrale est hors programme.

La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe.
Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

Si un polynôme P annule u, toute valeur propre de u est racine de P.
Si u(x) = λx, alors P(u)(x) = P(λ)x.

Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée.
Équation aux éléments propres AX = λX.

Polynôme caractéristique

Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
Par convention le polynôme caractéristique est unitaire.
Notations χ_A , χ_u.
Coefficients de degrés 0 et n−1.

Les valeurs propres d’un endomorphisme de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.
Spectre complexe d’une matrice carrée réelle.

Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.

Théorème de Cayley-Hamilton.
La démonstration n’est pas exigible.

Diagonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit diagonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale.
Une telle base est constituée de vecteurs propres.

Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Interprétation en termes d’endomorphisme.
Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable.
Dans la pratique des cas numériques, on se limite à n=2 ou n=3.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel E est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à E.
Exemple des projecteurs et des symétries.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace.
Traduction matricielle.

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂 et si, pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité.
Traduction matricielle.
Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Polynôme caractéristique scindé à racines simples.
Traduction matricielle.

Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.
Le lemme de décomposition des noyaux est hors programme.

L’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s’il admet ∏_λ∈Sp(u)(X−λ) pour polynôme annulateur.

Trigonalisation en dimension finie

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.
Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des valeurs propres.

Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Interprétation en termes d’endomorphisme.

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur 𝕂.
La démonstration n’est pas exigible.
Traduction matricielle.

Toute matrice de 𝓜_n(ℂ) est trigonalisable.

La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication.

À suivre (semaines prochaines) :

• Séries entières ;
• Variables aléatoires.