Révision

• intégrale généralisée ;
• probabilités de sup (3/2) / spé (5/2)
  

Variables aléatoires discrètes

• la notion de tribu n’appelle aucun autre développement que sa définition ;
• l’étude de la dénombrabilité d’un ensemble et la construction d’espaces probabilisés sont hors programme ;
• les diverses notions de convergences (presque sûre, en probabilité, en loi, etc.) sont hors programme.

Ensembles dénombrables, familles sommables

Ces notions ne feront l’objet d’aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.

Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s’il est en bijection avec (une partie de)  ℕ, c’est-à-dire s’il peut être décrit en extension sous la forme {x_i, i ∈ I} où I =  ℕ (I ⊂  ℕ) avec des x_i distincts.

Sont dénombrables :  ℤ, un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables. Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu’on sait associer à toute famille au plus dénombrable (x_i)_i∈I d’éléments de [0,+∞] sa somme ∑_i∈Ix_i ∈
[0,+∞], et que pour tout découpage en paquets I = ⋃_{n ∈ℕ}I_n, ∑_i∈Ix_i = ∑_n∈ℕ(∑_i∈Inx_i).
La famille (x_i)_i∈I d’éléments de [0,+∞] est dite sommable si ∑_i∈Ix_i < ∞. En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.

Une famille (x_i)_i∈I au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si (|x_i|)_i∈I l’est. Pour I = ℕ, la sommabilité d’une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée. Si |x_i| ≤ y_i pour tout i∈I, la sommabilité de (y_i)_i∈I implique celle de (x_i)_i∈I.

En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.

Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Univers, événements, variables aléatoires discrètes

Univers Ω, tribu 𝒜. Espace probabilisable (Ω,𝒜).

On se limite à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.

Événements

Traduction de la réalisation des événements ⋃_n=0^∞A_n et  ⋂_n=0^∞A_n à l’aide des quantificateurs ∃ et ∀.
Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année.

Probabilité

Probabilité sur (Ω,𝒜), σ-additivité.
Espace probabilisé (Ω,𝒜,P).

Notation P(A).

Probabilité de la réunion ou de la différence de deux événements, de l’événement contraire.
Croissance de la probabilité.
Continuité croissante, continuité décroissante.
Application : pour une suite (A_n)_n∈ℕ d’événements (non nécessairement monotone), limites quand n tend vers l’infini de

P(⋃_k=0ⁿA_k) et P(⋂_k=0ⁿA_k).

Sous-additivité : P(⋃_n=0^∞A_n) ≤ ∑_n=0^∞P(A_n).

En cas de divergence de la série à termes positifs ∑P(A_n), on rappelle que ∑_n=0^∞P(A_n) = +∞.

Événement presque sûr, événement négligeable.

Système quasi-complet d’événements.

Probabilités conditionnelles

À suivre (semaines prochaines) :

• Réduction ;
• Séries entières.