Révision :
La réduction des endomorphismes et des matrices carrées
permet d’approfondir les notions étudiées en première année.
Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points
de vue suivants :
L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi
que la notion de polynôme minimal.
Droite stable par un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un
endomorphisme.
Équation aux éléments propres u(x) = λx.
Si u et v commutent, les sous-espaces propres de u sont
stables par v.
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie.
Notation Sp(u).
La notion de valeur spectrale est hors programme.
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un
endomorphisme est directe.
Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs
propres distinctes est libre.
Si un polynôme P annule u, toute valeur
propre de u est racine de P.
Si u(x) = λx, alors P(u)(x)
= P(λ)x.
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre
d’une matrice carrée.
Équation aux éléments propres AX = λX.
Polynôme caractéristique d’une matrice carrée, d’un endomorphisme
d’un espace vectoriel de dimension finie.
Par convention le polynôme caractéristique est unitaire.
Notations χA , χu.
Coefficients de degrés 0 et n−1.
Les valeurs propres d’un endomorphisme de dimension finie sont
les racines de son polynôme caractéristique.
Spectre complexe d’une matrice carrée réelle.
Multiplicité d’une valeur propre. Majoration de la
dimension d’un sous-espace propre par la multiplicité.
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique,
donc les mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.
Théorème de Cayley-Hamilton.
La démonstration n’est pas exigible.
N.B. Pour les 3/2, juste le
vocabulaire de la réduction et les recherches de vap/vep/sep cette
semaine.