Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme [a,+∞[
Pour f continue par morceaux sur [a,+∞[,
l'intégrale ∫a+∞f(t)dt
est dite convergente si ∫axf(t)dt
a une limite finie lorsque x tend vers +∞. Notation ∫a+∞f(t)dt, ∫a+∞f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en +∞.
Si f est continue par morceaux sur [a,+∞[ et à
valeurs positives, alors ∫a+∞f(t)dt
converge si et seulement si x ↦ ∫axf(t)dt est majorée.
Si f et g sont deux fonctions continues par
morceaux sur [a, +∞[ telles que 0 ≤f≤g, la
convergence de ∫a+∞g implique
celle de ∫a+∞f.
Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque
Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par
morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de ℝ. Notation ∫abf(t)dt,
∫abf. Intégrale convergente (resp. divergente) en b, en a.
Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité,
croissance, relation de Chasles.
Intégration par parties sur un intervalle quelconque :
∫abf(t)g'(t)dt
= [fg]ab− ∫abf'(t)g(t)dt.
La démonstration n’est pas exigible. L'existence des limites du
produitfg aux bornes de l'intervalle assure que les
intégrales defg' etf'gsont de même nature.
Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les
hypothèses de régularité.
Changement de variable :
si φ : ]α, β[ → ]a, b[ est une bijection
strictement croissante de classe 𝒞1 , et si f
est continue sur ]a, b[par morceaux alors ∫abf(t)dt
et ∫αβ(f∘φ)(t)φ'(t)dt
sont de même nature, et égales en cas de convergence. La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où φ est strictement
décroissante.
On applique ce résultat sans justification dans les cas de
changements de variable usuels.
Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables
Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire. L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif
du programme.
Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est
dite intégrable sur I si son intégrale sur I est
absolument convergente. Notations ∫If, ∫If(t)dt. Pour I = [a, b[, (respectivement ]a,
b]), fonction intégrable en b (resp. en a).
Espace vectoriel L1(I, 𝕂) des fonctions intégrables sur I à
valeurs dans 𝕂.
Si f est continue, intégrable et positive sur I,
et si ∫If(t)dt = 0,
alors f est identiquement nulle.
Théorème de comparaison :
Pour f et g deux fonctions continues par
morceaux sur [a,+∞[ :
si f(t) = O(g(t))
[t → ∞], alors l'intégrabilité de g en +∞
implique celle de f.
si |f(t)| ∼ |g(t)| [x
→ ∞], alors l'intégrabilité de f en +∞ est équivalente
à celle de g.
Adaptation au cas d'un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si f(t)
= o(g(t)) [t → ∞].
Fonctions de référence :
pour α∈ℝ,
intégrales de Riemann : étude de l’intégrabilité de t ↦ t−α en +∞, en 0+ ;
étude de l’intégrabilité de t
↦ e−αt en
+∞.
L’intégrabilité det
↦ lnten 0 peut
être directement utilisée. Les résultats relatifs à l’intégrabilité de x↦ |x−a|−α
en a peuvent être directement utilisés. Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction
x ↦ f(x)
est intégrable en a+(resp. en b−)
si t ↦
f(a+t)(resp. t ↦ f(b−t))
l’est en 0+.
