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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°9 - semaine n°48


Révision :

Intégration sur un intervalle quelconque

Suites et séries de fonctions intégrables [reprise]

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination (resp. convergence de la série des intégrales), sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux.

Théorème de convergence dominée :
si une suite (fn) de fonctions continues par morceaux sur I converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I  et s'il existe une fonction φ intégrable sur I vérifiant |fn| ≤ φ pour tout n, alors les fonctions fn et f sont intégrables sur I et :

Ifn(t)dtn→∞If(t)dt.

La démonstration est hors programme.

Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑fn de fonctions intégrables sur I converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur I, et si la série ∑∫I|fn(t)|dt converge, alors ∑n=0fn est intégrable sur I et :

In=0fndt = ∑n=0Ifn(t)dt.

La démonstration est hors-programme.

On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.

Variables aléatoires discrètes

On généralise l’étude des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini menée en première année aux variables
aléatoires discrètes. Ces outils permettent d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps
discret. La mise en place du cadre de cette étude se veut à la fois minimale, pratique et rigoureuse :
Toutes les variables aléatoires mentionnées dans le programme sont implicitement supposées discrètes.
La notion de variable à densité est hors programme.
La notion d’espérance conditionnelle est hors programme.

Ensembles dénombrables, familles sommables

Ce préambule propose une introduction a minima de la dénombrabilité et des familles sommables, afin de poser les bases de vocabulaire, méthodes et résultats qui seront admis, et directement utilisés. Chaque professeur est libre d’en adapter le contenu au niveau de formalisme qu’il juge préférable pour ses étudiants.

Ces notions ne feront l’objet d’aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.

Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s’il est en bijection avec (une partie de)  , c’est-à-dire s’il peut être décrit en extension sous la forme {xi, i ∈ I} où I (I ⊂  ) avec des xi distincts.

Sont dénombrables :  , un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables. Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu’on sait associer à toute famille au plus dénombrable (xi)i∈I d’éléments de [0,+∞] sa somme ∑i∈Ixi
[0,+∞], et que pour tout découpage en paquets I = ⋃n In, iIxi = n(∑i∈Inxi).
La famille (xi)i∈I d’éléments de [0,+∞] est dite sommable si ∑i∈Ixi < ∞. En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.

Une famille (xi)i∈I au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si (|xi|)i∈I l’est. Pour I, la sommabilité d’une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée. Si |xi yi pour tout i∈I, la sommabilité de (yi)i∈I implique celle de (xi)i∈I.

En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.

Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Univers, événements, variables aléatoires discrètes

Univers Ω, tribu 𝒜. Espace probabilisable (Ω,𝒜).

On se limite à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.

Événements

Traduction de la réalisation des événements n=0An et n=0An à l’aide des quantificateurs ∃ et ∀.
Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année.

Une variable aléatoire discrète X est une application définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x}) est un événement.

L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations
(X = x), {X = x}, (X ∈ A).
Notation
(X ≥ x) (et analogues) lorsque X est à valeurs réelles.

Probabilité

Probabilité sur (Ω,𝒜), σ-additivité.
Espace probabilisé (Ω,𝒜,P).

Notation P(A).

Probabilité de la réunion ou de la différence de deux événements, de l’événement contraire.
Croissance de la probabilité.
Continuité croissante, continuité décroissante.
Application : pour une suite (An)n∈ d’événements (non nécessairement monotone), limites quand n tend vers l’infini de

P(⋃k=0nAk) et P(⋂k=0nAk).

Sous-additivité : P(⋃n=0An) ≤ n=0P(An).

En cas de divergence de la série à termes positifsP(An), on rappelle que n=0P(An) = +∞.

Événement presque sûr, événement négligeable.

Système quasi-complet d’événements.

Probabilités conditionnelles

Si P(B) > 0,  la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par la relation P(A|B) = PB(A) = P(A∩B)/P(B).
L’application PB définit une probabilité.

Formule des probabilités composées.

Formule des probabilités totales.
Si
 (An)n≥0 est un système complet ou quasi-complet d’événements, alors

P(B) = ∑n=0+∞P(B∩An) = ∑n=0+∞P(B|An)P(An).

On rappelle la convention P(B|An)P(An) = 0 lorsque P(An) = 0.

Formule de Bayes.

À suivre (semaines prochaines) :