Révision :
Ces notions ne feront l’objet d’aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.
Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s’il est en bijection avec (une partie de) ℕ, c’est-à-dire s’il peut être décrit en extension sous la forme {xi, i ∈ I} où I = ℕ (I ⊂ ℕ) avec des xi distincts.
Sont dénombrables : ℤ, un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables. Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries
de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu’on sait
associer à toute famille au plus dénombrable (xi)i∈I
d’éléments de [0,+∞] sa somme ∑i∈Ixi
∈
[0,+∞], et que pour tout découpage en paquets I = ⋃n ∈ℕIn,
∑i∈Ixi
= ∑n∈ℕ(∑i∈Inxi).
La famille (xi)i∈I
d’éléments de [0,+∞] est dite sommable si ∑i∈Ixi
< ∞. En pratique, dans le cas positif, les étudiants
peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la
finitude de la somme valant preuve de sommabilité.
Une famille (xi)i∈I
au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si (|xi|)i∈I
l’est. Pour I = ℕ, la
sommabilité d’une suite équivaut à la convergence absolue de la
série associée. Si |xi| ≤
yi pour tout i∈I, la sommabilité
de (yi)i∈I implique
celle de (xi)i∈I.
En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement
grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation
par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.
Univers Ω, tribu 𝒜. Espace probabilisable (Ω,𝒜).
On se limite à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.
Événements
Traduction de la réalisation des événements ⋃n=0∞An
et ⋂n=0∞An
à l’aide des quantificateurs ∃ et ∀.
Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit
en première année.
Une variable aléatoire discrète X est une application définie sur Ω, telle que X(Ω) est au plus dénombrable et, pour tout x∈X(Ω), X−1({x}) est un événement.
L’univers Ω n’est en général pas explicité.
Notations (X = x), {X = x},
(X ∈ A).
Notation (X ≥ x) (et analogues) lorsque
X est à valeurs réelles.
Probabilité sur (Ω,𝒜), σ-additivité.
Espace probabilisé (Ω,𝒜,P).
Notation P(A).
Probabilité de la réunion ou de la différence de deux événements,
de l’événement contraire.
Croissance de la probabilité.
Continuité croissante, continuité décroissante.
Application : pour une suite (An)n∈ℕ
d’événements (non nécessairement monotone), limites quand n tend
vers l’infini de
P(⋃k=0nAk) et P(⋂k=0nAk).
Sous-additivité : P(⋃n=0∞An) ≤ ∑n=0∞P(An).
En cas de divergence de la série à termes positifs ∑P(An), on rappelle que ∑n=0∞P(An) = +∞.
Événement presque sûr, événement négligeable.
Système quasi-complet d’événements.