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PC - colles de mathématiques 2024-2025

colle n°8 - semaine n°47

Révision

Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées [reprise]

Polynôme d’un endomorphisme, d’une matrice carrée.
Relation (PQ)(u) = P(u)∘Q(u).

Polynôme annulateur.
Application au calcul de l’inverse et des puissances.

Deux polynômes de l’endomorphisme u commutent.
Le noyau de P(u) est stable par u.

Adaptation de ces résultats aux matrices carrées.

Interpolation de Lagrange

Base de 𝕂n[X] constituée des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points distincts de 𝕂.
Expression d’un polynôme P∈𝕂n[X] dans cette base.
La somme des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points est le polynôme constant égal à 1.

Déterminant de Vandermonde.
Lien avec le problème d’interpolation de Lagrange.

Intégration sur un intervalle quelconque

Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme [a,+∞[

Pour f continue par morceaux sur [a,+∞[, l'intégrale ∫a+∞ f(t)dt est dite convergente si ∫axf(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers +∞.
Notation ∫a+∞ f(t)dt, ∫a+∞ f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en +∞.
Si f est continue par morceaux sur [a,+∞[ et à valeurs positives, alors ∫a+∞ f(t)dt converge si et seulement si x ↦ ∫ax f(t)dt est majorée.
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, +∞[ telles que 0 ≤ f ≤ g, la convergence de ∫a+∞ g implique celle de ∫a+∞ f.

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de ℝ.
Notation ∫ab f(t)dt, ∫ab f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en b, en a.

Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :

∫abf(t)g'(t)dt = [fg]ab− ∫abf'(t)g(t)dt.

La démonstration n’est pas exigible. L'existence des limites du produit fg aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales de fg' et f'g sont de même nature.

Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.
Changement de variable :
si φ : ]α, β[ → ]a, b[ est une bijection strictement croissante de classe 𝒞1 , et si f est continue sur ]a, b[par morceaux alors  ∫abf(t)dt et ∫αβ(f∘φ)(t)φ'(t)dt sont de même nature, et égales en cas de convergence.
La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où φ  est strictement décroissante.

On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.

À suivre (semaines prochaines) :