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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°8 - semaine n°47


Révision :

Intégration sur un intervalle quelconque

Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables [reprise]

Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire.
L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I si son intégrale sur I est absolument convergente.
NotationsIf, ∫If(t)dt.
Pour I = [a, b[, (respectivement ]a, b]), fonction intégrable en b (resp. en a).

Espace vectoriel L1(I𝕂) des fonctions intégrables sur I à valeurs dans 𝕂.

Si f est continue, intégrable et positive sur I, et si ∫If(t)dt = 0, alors f est identiquement nulle.

Théorème de comparaison :
Pour f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ : Adaptation au cas d'un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si
f(t) = o(g(t)) [t → ∞].

Fonctions de référence :
pour α∈,
L’intégrabilité de t lnt en 0 peut être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de x |xa|α en a peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction x  f(x) est intégrable en a+ (resp. en b) si t  f(a+t) (resp. t f(b−t)) l’est en 0+.

Suites et séries de fonctions intégrables

Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination (resp. convergence de la série des intégrales), sans expliciter celles relatives à la continuité par morceaux.

Théorème de convergence dominée :
si une suite (fn) de fonctions continues par morceaux sur I converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I  et s'il existe une fonction φ intégrable sur I vérifiant |fn| ≤ φ pour tout n, alors les fonctions fn et f sont intégrables sur I et :

Ifn(t)dtn→∞If(t)dt.

La démonstration est hors programme.

Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑fn de fonctions intégrables sur I converge simplement, si sa somme est continue par morceaux sur I, et si la série ∑∫I|fn(t)|dt converge, alors ∑n=0fn est intégrable sur I et :

In=0fndt = ∑n=0Ifn(t)dt.

La démonstration est hors-programme.

On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée pour les sommes partielles.

À suivre (semaines prochaines) :