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PC - colles de mathématiques
2023-2024
colle n°8 - semaine n°47
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Révision :
- Suites et séries de fonctions ;
- Intégrale de Riemann / généralisée (début).
Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables [reprise]
Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire.
L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif
du programme.
Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est
dite intégrable sur I si son intégrale sur I est
absolument convergente.
Notations ∫If, ∫If(t)dt.
Pour I = [a, b[, (respectivement ]a,
b]), fonction intégrable en b (resp. en a).
Espace vectoriel L1(I, 𝕂) des fonctions intégrables sur I à
valeurs dans 𝕂.
Si f est continue, intégrable et positive sur I,
et si ∫If(t)dt = 0,
alors f est identiquement nulle.
Théorème de comparaison :
Pour f et g deux fonctions continues par
morceaux sur [a,+∞[ :
- si f(t) = O(g(t))
[t → ∞], alors l'intégrabilité de g en +∞
implique celle de f.
- si |f(t)| ∼ |g(t)| [x
→ ∞], alors l'intégrabilité de f en +∞ est équivalente
à celle de g.
Adaptation au cas d'un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si f(t)
= o(g(t)) [t → ∞].
Fonctions de référence :
pour α∈ℝ,
- intégrales de Riemann : étude de l’intégrabilité de t ↦ t−α
en +∞, en 0+ ;
- étude de l’intégrabilité de t
↦ e−αt en
+∞.
L’intégrabilité de t
↦ lnt en 0 peut
être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de x
↦ |x−a|−α
en a peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction
x ↦ f(x)
est intégrable en a+ (resp. en b−) si
t ↦ f(a+t)
(resp. t ↦ f(b−t))
l’est en 0+.
Suites et séries de fonctions intégrables
Pour l’application pratique des énoncés de ce paragraphe, on
vérifie les hypothèses de convergence simple et de domination
(resp. convergence de la série des intégrales), sans expliciter
celles relatives à la continuité par morceaux.
Théorème de convergence dominée :
si une suite (fn) de fonctions continues par
morceaux sur I converge simplement vers une
fonction f continue par morceaux sur I et s'il
existe une fonction φ intégrable sur I vérifiant |fn|
≤ φ pour tout n, alors les fonctions fn
et f sont intégrables sur I et :
∫Ifn(t)dt
→ n→∞ ∫If(t)dt.
La démonstration est hors programme.
Théorème d'intégration terme à terme
si une série ∑fn de fonctions intégrables sur I
converge simplement, si sa somme est continue par morceaux
sur I, et si la série ∑∫I|fn(t)|dt
converge, alors ∑n=0∞fn
est intégrable sur I et :
∫I∑n=0∞fndt
= ∑n=0∞∫Ifn(t)dt.
La démonstration est hors-programme.
On présente des exemples sur lesquels cet énoncé ne s’applique
pas, mais dans lesquels l’intégration terme à
terme peut être justifiée par le théorème de convergence dominée
pour les sommes partielles.
À suivre (semaines prochaines) :
- Familles sommables et probabilités usuelles ;
- Réduction.