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PC - colles de mathématiques 2022-2023

colle n°7 - semaine n°46

Révision

Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels [reprise]

Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels ; dimension dans le cas où ces espaces sont de dimension finie.
Somme, somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels.
En dimension finie, base adaptée à un sous-espace vectoriel, à une décomposition E = ⊕Ei.

Décomposition en somme directe obtenue par partition d’une base.

Si F1, ..., Fp sont des sous-espaces de dimension finie, alors :

dim ∑iFi ≤ ∑idimFi

avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Matrices par blocs et sous-espaces stables

Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition).
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit.

Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel par un endomorphisme et interprétation en termes d’endomorphismes d’une matrice triangulaire ou diagonale par blocs.

Si u et v commutent alors le noyau de u est stable par v.

Trace

Trace d’une matrice carrée.

Notation tr(A).

Linéarité, trace d’une transposée.
Relation tr(AB) = tr(BA).
Invariance de la trace par similitude. Trace d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie.

Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées

Polynôme d’un endomorphisme, d’une matrice carrée.
Relation (PQ)(u) = P(u)∘Q(u).

Polynôme annulateur.
Application au calcul de l’inverse et des puissances.

Deux polynômes de l’endomorphisme u commutent.
Le noyau de P(u) est stable par u.

Adaptation de ces résultats aux matrices carrées.

Interpolation de Lagrange

Base de 𝕂n[X] constituée des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points distincts de 𝕂.
Expression d’un polynôme P∈𝕂n[X] dans cette base.
La somme des polynômes interpolateurs de Lagrange en n+1 points est le polynôme constant égal à 1.

Déterminant de Vandermonde.
Lien avec le problème d’interpolation de Lagrange.

À suivre (semaines prochaines) :