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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°7 - semaine n°46


Révision :

Intégration sur un intervalle quelconque

Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme [a,+∞[

Pour f continue par morceaux sur [a,+∞[, l'intégrale ∫a+∞ f(t)dt est dite convergente si ∫axf(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers +∞.
Notationa+∞ f(t)dt, a+∞ f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en +∞.

Si f est continue par morceaux sur [a,+∞[ et à valeurs positives, alors ∫a+∞ f(t)dt converge si et seulement si x ↦ ∫ax f(t)dt est majorée.
Si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur [a, +∞[ telles que 0  f  g, la convergence de ∫a+∞ g implique celle de ∫a+∞ f.

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de ℝ.
Notationab f(t)dt, ∫ab f.
Intégrale convergente (resp. divergente) en b, en a.

Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :

abf(t)g'(t)dt = [fg]ababf'(t)g(t)dt.

La démonstration n’est pas exigible. L'existence des limites du produit
fg aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales de fg' et f'g sont de même nature.

Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

Changement de variable :
si φ : ]α, β[ → ]a, b[ est une bijection strictement croissante de classe 𝒞1 , et si f est continue sur ]a, b[par morceaux alors  ∫abf(t)dt et ∫αβ(f∘φ)(t)φ'(t)dt sont de même nature, et égales en cas de convergence.
La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où
φ  est strictement décroissante.

On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.

Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables

Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence.
Inégalité triangulaire.
L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I si son intégrale sur I est absolument convergente.
NotationsIf, ∫If(t)dt.
Pour I = [a, b[, (respectivement ]a, b]), fonction intégrable en b (resp. en a).

Espace vectoriel L1(I𝕂) des fonctions intégrables sur I à valeurs dans 𝕂.

Si f est continue, intégrable et positive sur I, et si ∫If(t)dt = 0, alors f est identiquement nulle.

Théorème de comparaison :
Pour f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ : Adaptation au cas d'un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si
f(t) = o(g(t)) [t → ∞].

Fonctions de référence :
pour α∈,
L’intégrabilité de t lnt en 0 peut être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de x |xa|α en a peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction x  f(x) est intégrable en a+ (resp. en b) si t  f(a+t) (resp. t f(b−t)) l’est en 0+.

À suivre (semaines prochaines) :