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PC - colles de mathématiques
2024-2025
colle n°6 - semaine n°45
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Révision
- suites et séries de fonctions ;
- algèbre linéaire de sup (3/2) / de spé (5/2).
Suites et séries de fonctions
Régularité de la somme d'une série de
fonctions [reprise]
Continuité de la somme d’une série de fonctions : si une série ∑fn
de fonctions continues sur I converge uniformément sur I,
alors sa somme est continue sur I.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout
segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Théorème de la double limite : si une série ∑fn
de fonctions définies sur I converge uniformément sur I
et si, pour tout n, fn admet une
limite ℓn en a
borne de I (éventuellement infinie), alors la série ∑ℓn converge, la somme de
la série admet une limite en a et :
∑
n=0∞fn(
x)
→x→a ∑
n=0∞ℓn.
La démonstration est hors programme.
Intégration de la somme d'une série de fonctions :
si une série de fonctions continues converge uniformément
sur [a, b], alors la série des intégrales est
convergente et :
∫ab∑n=0+∞fn(t)dt
= ∑n=0+∞∫abfn(t)dt.
Dérivation de la somme d'une série de fonctions :
si une série ∑fn de fonctions de classe 𝒞1
converge simplement sur un intervalle I et si la série ∑f'n
converge uniformément sur I, alors la somme ∑n=0+∞fn
est de classe 𝒞1 sur I et sa dérivée est ∑n=0+∞f'n.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment
ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Extension à la classe 𝒞k sous
hypothèse similaire à celle décrite dans le cas des suites de
fonctions.
Algèbre linéaire
Dans toute cette partie, 𝕂 désigne
ℝ ou ℂ.
Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et
les matrices
Le programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts préliminaires à la
réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces
vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par
blocs, trace, polynômes d’endomorphismes et de matrices
carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
- passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel
et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et
préconise l’illustration des notions et résultats par de
nombreuses figures.
Produit d’espaces vectoriels, somme de
sous-espaces vectoriels
Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels ; dimension dans le
cas où ces espaces sont de dimension finie.
Somme, somme directe d’une famille finie de sous-espaces
vectoriels.
En dimension finie, base adaptée à un sous-espace vectoriel, à une
décomposition E = ⊕Ei.
Décomposition en somme directe obtenue par partition d’une
base.
Si F1, ..., Fp sont des
sous-espaces de dimension finie, alors :
dim ∑iFi
≤ ∑idimFi
avec égalité si et seulement si la somme est directe.
Matrices par blocs et sous-espaces stables
Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles
compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition).
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme
induit.
Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace
vectoriel par un endomorphisme et interprétation en termes
d’endomorphismes d’une matrice triangulaire ou diagonale par
blocs.
Si u et v commutent alors le noyau de u
est stable par v.
Trace
Trace d’une matrice carrée.
Notation tr(A).
Linéarité, trace d’une transposée.
Relation tr(AB) = tr(BA).
Invariance de la trace par similitude. Trace d’un endomorphisme
d’un espace de dimension finie.
À suivre (semaines prochaines) :
- Algèbre linéaire suite et fin : polynômes
d'endomorphismes et de matrices, polynômes de Lagrange ;
- Intégrale généralisée.