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PC - colles de mathématiques
2024-2025
colle n°5 - semaine n°42
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Révision
Suites et séries de fonctions
L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de
convergence d'une suite ou d'une série de fonctions et d’étudier
le
transfert à la limite, à la somme des propriétés des fonctions.
Les fonctions sont définies sur un intervalle I de ℝ
et à valeurs dans ℝ ou ℂ.
Modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions [reprise]
Convergence simple, convergence uniforme d'une suite de fonctions.
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées
à valeurs dans ℝ ou ℂ.
Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d'une
série de fonctions.
Utilisation d’une majoration uniforme de |fn(x)|
pour établir la convergence normale de ∑fn.
La convergence normale entraîne la convergence uniforme.
La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout
point.
Régularité de la limite d'une suite de fonctions
Continuité de la limite d'une suite de fonctions : Si (fn)
converge uniformément vers f sur I et si, pour
tout n, fn est continue sur I,
alors f est continue sur I.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout
segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Intégration sur un segment de la limite d’une suite de fonctions
:
si une suite (fn) de fonctions continues
converge uniformément vers f sur [a, b]
alors
∫ab limn→+∞fn(t)dt
= limn→+∞ ∫ab fn(t)dt.
Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions :
si (fn) est une suite de fonctions de classe
𝒞1 sur I qui converge simplement sur I
vers f et telle que la suite (f'n)
converge uniformément sur I vers g, alors f
est de classe 𝒞1 sur I et f'=g.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout
segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Extension aux fonctions de classe 𝒞k,
sous l'hypothèse de convergence uniforme de (fn(k))
et de convergence simple des (fn(j))
pour 0 ≤ j < k.
Régularité de la somme d'une série de
fonctions
Continuité de la somme d’une série de fonctions : si une série ∑fn
de fonctions continues sur I converge uniformément sur I,
alors sa somme est continue sur I.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout
segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Théorème de la double limite : si une série ∑fn
de fonctions définies sur I converge uniformément sur I
et si, pour tout n, fn admet une
limite ℓn en a
borne de I (éventuellement infinie), alors la série ∑ℓn converge, la somme de
la série admet une limite en a et :
∑
n=0∞fn(
x)
→x→a ∑
n=0∞ℓn.
La démonstration est hors programme.
Intégration de la somme d'une série de fonctions :
si une série de fonctions continues converge uniformément
sur [a, b], alors la série des intégrales est
convergente et :
∫ab∑n=0+∞fn(t)dt
= ∑n=0+∞∫abfn(t)dt.
Dérivation de la somme d'une série de fonctions :
si une série ∑fn de fonctions de classe 𝒞1
converge simplement sur un intervalle I et si la série ∑f'n
converge uniformément sur I, alors la somme ∑n=0+∞fn
est de classe 𝒞1 sur I et sa dérivée est ∑n=0+∞f'n.
En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment
ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.
Extension à la classe 𝒞k sous
hypothèse similaire à celle décrite dans le cas des suites de
fonctions.
À suivre (semaines prochaines) :
- Algèbre linéaire ;
- Intégrale généralisée.