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PC - colles de mathématiques 2024-2025
colle n°4 - semaine n°41
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Révision
- séries
- dérivation et intégration
Intégration [reprise]
Cette section vise les objectifs suivants :
- étendre la notion d’intégrale étudiée en première année à des
fonctions continues par morceaux [...]
Fonctions continues par morceaux
Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle
de ℝ.
Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.
Brève extension des propriétés de l’intégrale d’une fonction continue
sur un segment étudiées en première année.
Aucune construction n’est exigible.
(révisions de sup)
- propriétés fondamentales de l'intégrale de Riemann (linéarité,
positivité, croissance, relation de Chasles)
- intégrale "de a à b" et primitives d'une fonction
continue sur un intervalle
- applications : changement de variable, intégration par parties,
formule de Taylor avec reste intégral.
NB : toujours intégrale de Riemann seulement
pour l'instant !
Suites et séries de fonctions
L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de
convergence d'une suite ou d'une série de fonctions et d’étudier le
transfert à la limite, à la somme des propriétés des fonctions.
Les fonctions sont définies sur un intervalle I de
ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ.
Modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions
Convergence simple, convergence uniforme d'une suite de fonctions.
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées à
valeurs dans ℝ ou ℂ.
Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d'une série de
fonctions.
Utilisation d’une majoration uniforme de |fn(x)|
pour établir la convergence normale de ∑fn.
La convergence normale entraîne la convergence uniforme.
La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point.
NB : cette semaine, pour les 3/2, seulement
des études de CVS / CVU / CVN.
À suivre (semaines prochaines) :
- Suites et séries de fonctions (fin) ;
- Algèbre linéaire.