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PC - colles de mathématiques 2023-2024
colle n°4 - semaine n°41
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Révision :
- dérivation ;
- intégration.
Intégration
[révisions de 1ère année - reprise]
- propriétés fondamentales de l'intégrale de Riemann (linéarité,
positivité, croissance, relation de Chasles)
- intégrale "de a à b" et primitives d'une fonction
continue sur un intervalle
- applications : changement de variable, intégration par parties,
formule de Taylor avec reste intégral.
Algèbre linéaire
Dans toute cette partie, 𝕂 désigne
ℝ ou ℂ.
Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les
matrices
Le programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des
endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme
directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes
d’endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de
Lagrange ;
- passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et
inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise
l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces
vectoriels
Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels ; dimension dans le cas où
ces espaces sont de dimension finie.
Somme, somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels.
En dimension finie, base adaptée à un sous-espace vectoriel, à une
décomposition E = ⊕Ei.
Décomposition en somme directe obtenue par partition d’une base.
Si F1, ..., Fp sont des
sous-espaces de dimension finie, alors :
dim ∑iFi
≤ ∑idimFi
avec égalité si et seulement si la somme est directe.
Matrices par blocs et sous-espaces stables
Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles compatibles
(combinaison linéaire, produit, transposition).
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit.
Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel par un
endomorphisme et interprétation en termes d’endomorphismes d’une matrice
triangulaire ou diagonale par blocs.
Si u et v commutent alors le noyau de u est
stable par v.
Trace
Trace d’une matrice carrée.
Notation tr(A).
Linéarité, trace d’une transposée.
Relation tr(AB) = tr(BA).
Invariance de la trace par similitude. Trace d’un endomorphisme d’un
espace de dimension finie.
À suivre (semaines prochaines) :
- Algèbre linéaire suite et fin :
- polynômes d'endomorphismes et de matrices ;
- interpolation de Lagrange ;
- Suites et séries de fonctions.