Suites et séries

Révision

• séries
• dérivation

Calcul différentiel [reprise]

Dérivabilité des fonctions vectorielles

L’objectif de cette section est de généraliser aux fonctions à valeurs dans ℝⁿ la notion de dérivée d’une fonction numérique.
Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝⁿ.

Dérivabilité en un point.
Dérivabilité sur un intervalle.

Définition par le taux d’accroissement, caractérisation
par le développement limité d’ordre un.
Traduction par les coordonnées dans la base canonique.
Interprétation cinématique.

Combinaison linéaire de fonctions dérivables.
Dérivée de L(f), où L est linéaire et f à valeurs dans ℝⁿ.
Dérivée de B(f,g), où B est bilinéaire, de M(f₁, ..., f_p), où M est p-linéaire, et f, g, f₁, ..., f_p à valeurs vectorielles.

La démonstration n’est pas exigible.
Application au produit scalaire et au déterminant.

Dérivée de f◦φ où φ est à valeurs réelles et f à valeurs vectorielles.
Fonction de classe 𝒞^k, de classe 𝒞^∞ sur un intervalle.

Intégration

• étendre la notion d’intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux [...]
  

Fonctions continues par morceaux

Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle de ℝ.

Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.
Brève extension des propriétés de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment étudiées en première année.
Aucune construction n’est exigible.

(révisions de sup)

• propriétés fondamentales de l'intégrale de Riemann (linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles)
• intégrale "de a à b" et primitives d'une fonction continue sur un intervalle
• applications : changement de variable, intégration par parties, formule de Taylor avec reste intégral.

NB : intégrale de Riemann seulement cette semaine !

À suivre (semaines prochaines) :

• Suites et séries de fonctions ;
• Algèbre linéaire.