Suites et séries

Révision

• étude locale
• séries
  

Séries numériques [reprise]

Compléments

Technique de comparaison série-intégrale.
Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction monotone.

Formule de Stirling : équivalent de n!.
La démonstration n’est pas exigible.

Règle de d’Alembert.

Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste.
La transformation d’Abel est hors programme.

Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
La démonstration n’est pas exigible.

Calcul différentiel

Dérivabilité des fonctions vectorielles

L’objectif de cette section est de généraliser aux fonctions à valeurs dans ℝⁿ la notion de dérivée d’une fonction numérique.
Toutes les fonctions sont définies sur un intervalle I de ℝ et à valeurs dans ℝⁿ.

Dérivabilité en un point.
Dérivabilité sur un intervalle.

Définition par le taux d’accroissement, caractérisation
par le développement limité d’ordre un.
Traduction par les coordonnées dans la base canonique.
Interprétation cinématique.

Combinaison linéaire de fonctions dérivables.
Dérivée de L(f), où L est linéaire et f à valeurs dans ℝⁿ.
Dérivée de B(f,g), où B est bilinéaire, de M(f₁, ..., f_p), où M est p-linéaire, et f, g, f₁, ..., f_p à valeurs vectorielles.

La démonstration n’est pas exigible.
Application au produit scalaire et au déterminant.

Dérivée de f◦φ où φ est à valeurs réelles et f à valeurs vectorielles.
Fonction de classe 𝒞^k, de classe 𝒞^∞ sur un intervalle.

À suivre (semaines prochaines) :

• Intégrale de Riemann ;
• Suites et séries de fonctions.