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PC - colles de mathématiques 2023-2024

colle n°1 - semaine n°38

Suites et séries

Révision : suites récurrentes

Étude d'une suite "récurrente" (définie par une relation un+1 = f(un)). Plan d'étude d'une telle suite selon que f est croissante ou décroissante.

Étude de série associée à une telle suite, notamment à l'aide d'un équivalent.

Séries numériques

Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.

L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.

Convergence et divergence

Sommes partielles d’une série numérique. Convergence, divergence, somme.

La série est notée un. En cas de convergence, sa somme est notéen=0+∞un.

Linéarité de la somme.

Le terme général d’une série convergente tend vers 0.
Divergence grossière.

Reste d’une série convergente.

Lien suite-série.

La  suite  (un) et la  série télescopique ∑(un+1un) sont de même nature.

Séries géométriques : condition nécessaire et suffisante de convergence, somme.

Séries à termes positifs

Convention de calcul et relation d’ordre dans [0, +1].

On note n=0+∞un = +∞ si la série un d'éléments de + diverge.

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Si 0 unvn pour tout n, la convergence de ∑vn implique celle de ∑un.

Si (un) et (vn) sont positives et si (un) ∼ (vn), les séries ∑un et ∑vn sont de même nature.

Séries de Riemann

Compléments

Technique de comparaison série-intégrale.
Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction monotone.

Formule de Stirling : équivalent de n!.
La démonstration n’est pas exigible.

Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste.
La transformation d’Abel est hors programme.

À suivre (semaine prochaine) :