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PC - colles de mathématiques
2024-2025
colle n°1 - semaine n°38
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Suites et séries
Révision : étude locale
Étude locale : DL et équivalents classiques (à réviser) ;
application à l'étude d'une suite définie implicitement (par une
équation fn(un) = 0).
Séries numériques
Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les
acquis de première année sur les séries, notamment la convergence
absolue, en vue de l’étude des probabilités discrètes et des
séries de fonctions.
L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.
Convergence et divergence
Sommes partielles d’une série numérique. Convergence, divergence,
somme.
La série est notée ∑un. En cas de
convergence, sa somme est notée ∑n=0+∞un.
Linéarité de la somme.
Le terme général d’une série convergente tend vers 0.
Divergence grossière.
Reste d’une série convergente.
Lien suite-série.
La suite (un) et
la série télescopique ∑(un+1−un) sont de même
nature.
Séries géométriques : condition nécessaire et suffisante de
convergence, somme.
Relation ez = ∑n=0+∞
zn/n! pour z∈ℂ.
Séries à termes positifs
Convention de calcul et relation d’ordre dans [0, +1].
On note ∑n=0+∞un
= +∞ si la série ∑un d'éléments
de ℝ+ diverge.
Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de
ses sommes partielles est majorée.
Si 0≤un≤vn pour tout n, la
convergence de ∑vn implique celle de ∑un.
Si (un) et (vn) sont
positives et si (un) ∼ (vn),
les séries ∑un et ∑vn sont
de même nature.
Séries de Riemann
Compléments
Technique de comparaison série-intégrale.
Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison
série-intégrale pour établir des convergences et des divergences
de séries, estimer des sommes partielles de séries divergentes
ou des restes de séries convergentes dans le cas d’une fonction
monotone.
Formule de Stirling : équivalent de n!.
La démonstration n’est pas exigible.
Règle de d’Alembert.
Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du
reste.
La transformation d’Abel est hors programme.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
La démonstration n’est pas exigible.
À suivre (semaine prochaine) :
- Dérivation et intégration.