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PC - colles de mathématiques 2023-2024
colle n°1 - semaine n°38
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Suites et séries
Révision : suites récurrentes
Étude d'une suite "récurrente" (définie par une relation un+1
= f(un)). Plan d'étude d'une telle suite selon
que f est croissante ou décroissante.
Étude de série associée à une telle suite, notamment à l'aide d'un
équivalent.
Séries numériques
Cette section a pour objectif de consolider et d’élargir les acquis de
première année sur les séries, notamment la convergence absolue, en vue de
l’étude des probabilités discrètes et des séries de fonctions.
L’étude de la semi-convergence n’est pas un objectif du programme.
Convergence et divergence
Sommes partielles d’une série numérique. Convergence, divergence, somme.
La série est notée ∑un. En cas de
convergence, sa somme est notée ∑n=0+∞un.
Linéarité de la somme.
Le terme général d’une série convergente tend vers 0.
Divergence grossière.
Reste d’une série convergente.
Lien suite-série.
La suite (un) et la
série télescopique ∑(un+1−un)
sont de même nature.
Séries géométriques : condition nécessaire et suffisante de convergence,
somme.
Séries à termes positifs
Convention de calcul et relation d’ordre dans [0, +1].
On note ∑n=0+∞un
= +∞ si la série ∑un d'éléments de ℝ+ diverge.
Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses
sommes partielles est majorée.
Si 0 ≤ un
≤ vn pour tout n, la convergence de
∑vn implique celle de ∑un.
Si (un) et (vn) sont positives et si
(un) ∼ (vn), les séries ∑un
et ∑vn sont de même nature.
Séries de Riemann
Compléments
Technique de comparaison série-intégrale.
Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale
pour établir des convergences et des divergences de séries, estimer des
sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries
convergentes dans le cas d’une fonction monotone.
Formule de Stirling : équivalent de n!.
La démonstration n’est pas exigible.
Théorème spécial des séries alternées, majoration et signe du reste.
La transformation d’Abel est hors programme.
À suivre (semaine prochaine) :
- Suite et fin des séries (CVA, d'Alembert, prod. de Cauchy) ;
- Dérivation et intégration.